$\delta$ Capítulo 4 - Seção 4.1 - Valores Máximo e Mínimo (pág. 253 a 255)
Questão 03 - Antônio Wagner
Para cada um dos números a, b, c, d, r e s, diga se a função cujo gráfico é dado tem um máximo absoluto, máximo ou mínimo local, ou nem máximo nem mínimo.
Solução:
Questão 13 - Jailson Bezerra
Solução:
Questão 19 - Robson Santos
Solução:
Questão 21 - Guilherme Oliveira
Esboce o gráfico de $f$ à mão e use seu esboço para encontrar os valores de máximos e mínimos locais e absolutos de $f$. (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3)
Solução:
$$\displaystyle f(x) = \mathrm{sen}\,{x}, \; \frac{-\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$$
Máximo absoluto: $\displaystyle f \bigg(\frac{\pi}{2} \bigg) = 1$;
Mínimo absoluto: $\displaystyle f \bigg(\frac{-\pi}{2} \bigg) = -1$;
Máximo local: não possui;
Mínimo local: não possui.
Questão 23 - José Hudson
Esboce o gráfico de f à mão e use o esboço para encontrar os valores de máximos e mínimos locais absolutos de f.
$f(x) = Ln(x) \qquad 0 < x \ge 2$
Solução:
Questão 29 - Aline Cristina
Solução:
Questão 33 - Aline Cristina
Solução:
Questão 35 - Marden Torres
Encontre os números críticos da função.
$g(y)=\displaystyle\frac{y - 1}{y^{2}-y +1}$
Solução:
$g(y)=\displaystyle\frac{y - 1}{y^{2}-y +1}$ =>
$g´(y)=\displaystyle\frac{(y^{2} - y + 1)(1) - (y - 1)(2y - 1)}{(y^{2} - y + 1)^{2}}$ $=\displaystyle\frac{y^{2} - y + 1 - (2y^{2} - 3y + 1)}{(y^{2} - y + 1)^{2}}$ $=\displaystyle\frac{- y^{2} + 2y}{(y^{2} - y + 1)^{2}}$ $=\displaystyle\frac{y(2 - y)}{(y^{2} - y + 1)^{2}}$
$g´(y) = 0$
$y = 0,2$
A expressão $y^{2} - y + 1$ não e igual a 0, então $g´(y)$ existe para todos os números reais.
Os números críticos são 0 e 2.
Questão 39 - Jailson Bezerra
Solução:
Questão 41 - Alessandra Farias
Solução:
Questão 47 - Diana Keli
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.
(a) $f(x)=3x^{2}-12x+5$ [0,3]
Solução:
$f(x)=3x^{2}-12x+5$
$f'(x)=6x-12$
$6x-12=0$
$6x=12$
$x=2$
$f(0)=3*0-12*0+5$
$f(0)=5$
$f(2)=3*4-12*2+5$
$f(2)=12-24+5$
$f(2)=-7$
$f(3)=3*9-12*3+5$
$f(3)=27-36+5$
$f(3)=-4$
O valor do máximo absoluto é: $f(0)=5$
O valor do mínimo absoluto é: $f(2)=-7$
Questão 51 - Alessandra Farias
Solução:
Questão 55 - Robson Santos
Solução:
Questão 59 - José Hudson
Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de f no intervalo dado.
$\displaystyle f(x)= xe^{-x^{2}/8} , [-1,4]$
Solução:
$\displaystyle f(x)= xe^{-x^{2}/8} , [-1,4]$
$\displaystyle f'(x)= x \cdot e^{-x^{2}/8}\cdot (\frac {-x}{4})+ e^{-x^{2}/8} $
$\displaystyle e^{-x^2}/8(\frac{-x^{2}}{4} + 1) $ $e^{-x^{2}/8}$ nunca é 0
$\displaystyle f'(x)= 0 $
$\displaystyle \frac { -x^{2}}{4} + 1 = 0$
$\displaystyle 1 = \frac {x^{2}}{4} $
$\displaystyle x^{2} = 4$
$\displaystyle x = + -2 $
$\displaystyle f'(-1) = -e^{-1/8} \approx -0.88$
$\displaystyle f(2) = 2e^{-1/2} \approx 1,21$
$\displaystyle f(4) = 4e^{-2} \approx 0,54$
Valor máximo absoluto = $\displaystyle f(2)= 2e^{-1}/2 = \frac{2}{\sqrt{e}}$
Valor mínimo absoluto = $\displaystyle f(-1)= -e ^{-1}/8 = \frac {-1}{\sqrt[8]{e}}$
Questão 65 - Val Maia
Solução:
Questão 67 - Val Maia
Solução:
Questão 73 - Thales Fernandes
Solução:
Questão 77 - Marden Torres
Demonstre o Teorema de Fermat para o caso em que f tem um mínimo local em c.
Solução:
Se tem um mínimo local em c , então $g(x) = - f(x)$ tem um máximo local em c , então $g´(x) = 0$ no caso do Teorema de Fermat provado no texto. Assim, $f´(c) = - g´(c) = 0$.
Para cada um dos números a, b, c, d, r e s, diga se a função cujo gráfico é dado tem um máximo absoluto, máximo ou mínimo local, ou nem máximo nem mínimo.
Solução:
Máximo absoluto=S; Mínimo absoluto=R; Máximo local=C; mínimo local=B e R; nenhum máximo ou mínimo em A e D.
Questão 05 - Diana Keli
Use o gráfico pra dizer quais os valores máximos e mínimos locais e absolutos da função.
Use o gráfico pra dizer quais os valores máximos e mínimos locais e absolutos da função.
Solução:
O valor máximo absoluto é: $f(4)=5$
Não há valor mínimo absoluto.
Valores máximos locais são: $f(4)=5$ e $f(6)=4$
Valores mínimos locais: $f(2)=2$ e $f(1)=f(5)=3$
O valor máximo absoluto é: $f(4)=5$
Não há valor mínimo absoluto.
Valores máximos locais são: $f(4)=5$ e $f(6)=4$
Valores mínimos locais: $f(2)=2$ e $f(1)=f(5)=3$
Questão 07 - Antônio Wagner
Esboce o gráfico de uma função f que seja contínua em [1,5] e tenha as propriedades dadas.
Máximo absoluto 3, mínimo absoluto em 2, mínimo local em 4.
Esboce o gráfico de uma função f que seja contínua em [1,5] e tenha as propriedades dadas.
Máximo absoluto 3, mínimo absoluto em 2, mínimo local em 4.
Solução:
Questão 09 - Thales Fernandes
Solução:Questão 09 - Thales Fernandes
Questão 13 - Jailson Bezerra
Solução:
Questão 17 - Guilherme Oliveira
Esboce o gráfico de $f$ à mão e use seu esboço para encontrar os valores de máximos e mínimos locais e absolutos de $f$. (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3)
Solução:
$$\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}, \; x \ge 1$$
Máximo absoluto: $f(1) = 1$;
Mínimo absoluto: não possui;
Máximo local: não possui;
Mínimo local: não possui.
Questão 19 - Robson Santos
Solução:
Questão 21 - Guilherme Oliveira
Esboce o gráfico de $f$ à mão e use seu esboço para encontrar os valores de máximos e mínimos locais e absolutos de $f$. (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3)
Solução:
$$\displaystyle f(x) = \mathrm{sen}\,{x}, \; \frac{-\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$$
Mínimo absoluto: $\displaystyle f \bigg(\frac{-\pi}{2} \bigg) = -1$;
Máximo local: não possui;
Mínimo local: não possui.
Questão 23 - José Hudson
Esboce o gráfico de f à mão e use o esboço para encontrar os valores de máximos e mínimos locais absolutos de f.
$f(x) = Ln(x) \qquad 0 < x \ge 2$
Solução:
Questão 29 - Aline Cristina
Solução:
Questão 33 - Aline Cristina
Solução:
Questão 35 - Marden Torres
Encontre os números críticos da função.
$g(y)=\displaystyle\frac{y - 1}{y^{2}-y +1}$
Solução:
$g(y)=\displaystyle\frac{y - 1}{y^{2}-y +1}$ =>
$g´(y)=\displaystyle\frac{(y^{2} - y + 1)(1) - (y - 1)(2y - 1)}{(y^{2} - y + 1)^{2}}$ $=\displaystyle\frac{y^{2} - y + 1 - (2y^{2} - 3y + 1)}{(y^{2} - y + 1)^{2}}$ $=\displaystyle\frac{- y^{2} + 2y}{(y^{2} - y + 1)^{2}}$ $=\displaystyle\frac{y(2 - y)}{(y^{2} - y + 1)^{2}}$
$g´(y) = 0$
$y = 0,2$
A expressão $y^{2} - y + 1$ não e igual a 0, então $g´(y)$ existe para todos os números reais.
Os números críticos são 0 e 2.
Questão 39 - Jailson Bezerra
Solução:
Questão 41 - Alessandra Farias
Solução:
Questão 47 - Diana Keli
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.
(a) $f(x)=3x^{2}-12x+5$ [0,3]
Solução:
$f(x)=3x^{2}-12x+5$
$f'(x)=6x-12$
$6x-12=0$
$6x=12$
$x=2$
$f(0)=3*0-12*0+5$
$f(0)=5$
$f(2)=3*4-12*2+5$
$f(2)=12-24+5$
$f(2)=-7$
$f(3)=3*9-12*3+5$
$f(3)=27-36+5$
$f(3)=-4$
O valor do máximo absoluto é: $f(0)=5$
O valor do mínimo absoluto é: $f(2)=-7$
Questão 51 - Alessandra Farias
Solução:
Questão 55 - Robson Santos
Solução:
Questão 59 - José Hudson
Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de f no intervalo dado.
$\displaystyle f(x)= xe^{-x^{2}/8} , [-1,4]$
Solução:
$\displaystyle f(x)= xe^{-x^{2}/8} , [-1,4]$
$\displaystyle f'(x)= x \cdot e^{-x^{2}/8}\cdot (\frac {-x}{4})+ e^{-x^{2}/8} $
$\displaystyle e^{-x^2}/8(\frac{-x^{2}}{4} + 1) $ $e^{-x^{2}/8}$ nunca é 0
$\displaystyle f'(x)= 0 $
$\displaystyle \frac { -x^{2}}{4} + 1 = 0$
$\displaystyle 1 = \frac {x^{2}}{4} $
$\displaystyle x^{2} = 4$
$\displaystyle x = + -2 $
$\displaystyle f'(-1) = -e^{-1/8} \approx -0.88$
$\displaystyle f(2) = 2e^{-1/2} \approx 1,21$
$\displaystyle f(4) = 4e^{-2} \approx 0,54$
Valor máximo absoluto = $\displaystyle f(2)= 2e^{-1}/2 = \frac{2}{\sqrt{e}}$
Valor mínimo absoluto = $\displaystyle f(-1)= -e ^{-1}/8 = \frac {-1}{\sqrt[8]{e}}$
Questão 65 - Val Maia
Solução:
Questão 67 - Val Maia
Solução:
Questão 73 - Thales Fernandes
Solução:
Questão 77 - Marden Torres
Demonstre o Teorema de Fermat para o caso em que f tem um mínimo local em c.
Solução:
Se tem um mínimo local em c , então $g(x) = - f(x)$ tem um máximo local em c , então $g´(x) = 0$ no caso do Teorema de Fermat provado no texto. Assim, $f´(c) = - g´(c) = 0$.
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