Capítulo 8 - Seção 8.2 - Área de uma Superfície de Revolução (499)

Questão 03 - Diana Keli
(a) Escreva uma integral para a área da superfície obtida pela rotação
da curva em torno do (i) eixo x e (ii) eixo y.

(b) Use o recurso de integração numérica de sua calculadora para calcular

as áreas da superfície com precisão de quatro casas decimais.

$\displaystyle y=e^{-x^{2}}$

Solução:
a) (i)  $\displaystyle y=e^{-x{2}}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=e^{-x^{2}}\cdot (-2x)$

$\displaystyle ds=\sqrt{1+(dy/dx)^{2}}dx$

$\displaystyle ds=\sqrt{1+4x^{2}e^{-2x^{2}}}dx$

$\displaystyle S = \int 2\pi y ds=\int_{-1}^{1}2\pi e^{-x^{2}}\sqrt{1+4x^{2}e^{-2x^{2}}}dx$

(ii) $\displaystyle S = \int 2\pi x ds=\int_{0}^{1}2\pi x\sqrt{1+4x^{2}e^{-2x^{2}}}dx$


b) (i) $11.0753$                    (ii)$3.9603$


 Questão 08 - Marden Torres

Calcule a área exata da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x.
$ y = \sqrt{1 + e^{x}}, 0\leq x \leq 1$ 


Solução: 

$y = \sqrt{1+e^{x}} => y' = \frac{1}{2}(1 + e^{x})^{-1/2}(e^{x}) =\displaystyle \frac{e^{x}}{2\sqrt{1+e^{x}}} =>$

$\displaystyle\sqrt{1+(y')^{2}} =\sqrt{1 +\frac{e^{2x}}{4(1+e^{x})}}=\sqrt{\frac{4+4e^{x}+e^{2x}}{4(1+e^{x})}}=\sqrt{\frac{(e^{x} + 2)^{2}}{4(1+e^{x})}}=\frac{e^{x}+2}{2\sqrt{1+e^{x}}}$ Assim

$S=\displaystyle\int_{0}^{1}2\pi y\sqrt{1+(y')^{2}}dx=2\pi\int_{0}^{1}\sqrt{1+e^{x}}\frac{e^{x} +2}{2\sqrt{1+e^{x}}}dx=\pi\int_{0}^{1}(e^{x}+2)dx$

$=\pi\big[e^{x}+2x\big]_{0}^{1}=\pi[(e+2)-(1+0)]=\pi(e+1)$



Questão 12 - José Hudson
Calcule a área exata da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x.

$x = 1+2y^{2} , 1 \leq y \leq 2$

Solução : 

$S = 2\pi \displaystyle \int_{1}^{2} x \sqrt{1+16^{2}}dy $
$ \displaystyle = \frac{\pi}{16}\int_{1}^{2}(16y^{2}+1)^{\frac{1}{2}}32y d{y}$
$ = \dfrac{\pi}{16}\left[\dfrac{2}{3}(16y^{2}+1)^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{2}$
$ = \dfrac{\pi}{24}(65\sqrt{65} - 17\sqrt{17})$