\int Revisão Cálculo I - Cápitulo 3 - Seção Revisão - Exercícios (238)
Questões 01 - 50. Calcule o y'.
Questão 04 - Antônio Wagner
Solução:
Questão 10 - Magno Braga
Solução:
Questão 12 - Lilia Cristina
y (arcsen 2x)^{2}
Solução:
y' = \dfrac{1}{\sqrt{1-(2x^{2})^{2}}} \\
y'=\dfrac{4x}{\sqrt{1-2x^{4}}}
Questão 13 - Jeovane Carneiro
y=\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2} }
Solução:
$ {y}' = \frac{x^{2}{(e^{\frac{1}{x} }) }'- e^{\frac{1}{x}}{(x^{2} )}'} {(x^{2})^{2} } =
\frac{x^{2}(e^{\frac{1}{x}})(\frac{-1}{x^{2}})- e^{\frac{1}{x} }(2x)}{x^{4} } =\frac{-e^{\frac{1}{x} }(1+2x)}{x^{4} } $
Questão 20 - Guilherme Fernandes
y = e^{x \cdot \sec{x}}
Solução:
y' = e^{x \cdot \sec{x}} \, (1 \cdot \sec{x} + x \cdot \sec{x} \cdot \mbox{tg}\,{x}) \\ y' = \sec{x} \cdot e^{x \cdot \sec{x}} \, (x \cdot \mbox{tg}\,{x} + 1)
Questão 26 - Matheus Matias
Solução:
Questão 36 - Pedro Soares
Solução:
Questão 37 - Matheus Matias
Solução:
Questão 38 - Jailson Bezerra
Solução:
Questão 44 - Diana Keli
y = \dfrac{\mbox{sen}\,{mx}}{x}
Solução:
y = \dfrac{\mbox{sen}\,{mx}}{x} \\ y' = \dfrac{(\mbox{sen}\,{mx})' \cdot x - x' \cdot (\mbox{sen}\,{mx})}{x^{2}} \\ y' = \dfrac{\cos{mx} \cdot x - 1 \cdot (\mbox{sen}\,{mx})}{x^{2}} \\ y' = \dfrac{mx \cdot \cos{x} - \mbox{sen}\,{mx}}{x^{2}}
Questão 45 - Marden Torres
y = \ln{(\cosh{3x})}
Solução:
y = \ln{(\cosh{3x})} \\ y' = \left(\dfrac{1}{\cosh{3x}} \right)\,(\mbox{senh}\,{3x})\,(3) \\ y' = 3\, \mbox{tgh}\,{3x}
Questão 46 - Diana Keli
y = \ln{\left|\dfrac{x^{2} - 4}{2x + 5} \right|}
Solução:
y = \ln{\left|\dfrac{x^{2} - 4}{2x + 5} \right|} \\ y' = \ln{\left|x^{2} - 4 \right|} - \ln{\left|2x + 5 \right|} \\ y' = \dfrac{2x}{x^{2} - 4} - \dfrac{2}{2x + 5}
Questões 57 - 59. Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado.
Questão 58 - José Hudson
y = \dfrac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}{,} \quad (0{,}\, -1)
Solução:
y' = \dfrac{2x \cdot [x^{2} + 1 - 2x \cdot (x^{2} - 1)]}{(x^{2} + 1)^{2}} \\ y' = \dfrac{4x}{(x^{2} + 1)^{2}} \\ y' = 0 \\ y - y_o = f'(x)\,(x - x_o) \\ y + 1 = 0\,(x - 0) \mbox{ ou } y = -1
Questão 59 - Atila Santos
Solução:
Questão 64 - Robson Santos
(a)Se f(x)=4x - tg x, -\pi/ 2<x< \pi/2 encontre f' e f'' .
(b)Verifique se suas respostas para a parte (a) são razoáveis comparando os gráficos de f, f' e f''.
Solução:
(a) f(x)=4x - tg x
f'(x)=4x - sec^{2} x
f''(x)=- 2sec^{2}(sec x \cdot tg x )
f''(x)=- 2sec^{2}\cdot tgx
(b) As novas respostas são razoáveis , já que o gráfico de f' é 0, onde f tem uma tangente horizontal e o gráfico de f' é positivo onde f tem tangentes com inclinação positiva e negativa onde f tem tangentes com decline negativo. A mesma correspondência é mantida entre os gráficos de f' e f''.
Questão 68 - Pedro Soares
Solução:
Questão 69 - Guilherme Fernandes
Suponha que h(x) = f(x) \, g(x) e F(x) = f(g(x)), onde f(2) = 3, g(2) = 5, g'(2) = 4, f'(2) = -2 e f'(5) = 11.
Encontre (a) h'(2) e (b) F'(2).
Solução:
(a) h(x) = f(x) \, g(x) \\ h'(x) = f'(x) \, g(x) + f(x) \, g'(x) \\ h'(2) = f'(2) \, g(2) + f(2) \, g'(2) \\ h'(2) = -2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 \\ h'(2) - 10 + 12 = 2.
(b) F(x) =f(g(x)) \\ F'(x) = f'(g(x)) \, g'(x) \\ F'(2) = f'(g(2)) \, g'(2) \\ F'(2) = f'(5) \cdot 4 \\ F'(2) = 11 \cdot 4 = 44.
Questão 71 - Jeovane Carneiro
f(x)=x^{2}g(x).
Solução:
{f}'(x)=x^{2} {g}'(x)+g(x)(2x)=x[x{g}'(x)+2g(x)]
Questão 80 - Marden Torres
Encontre h' em termos de f' e g'.
h(x) = \sqrt{\dfrac{f(x)}{g(x)}}
Solução:
h(x) = \sqrt{\dfrac{f(x)}{g(x)}} \\ h'(x) = \dfrac{f'(x) \, g(x) - f(x) \, g'(x)}{2 \sqrt{\dfrac{f(x)}{g(x)}} \, [g(x)^{2}]} \\ h'(x) = \dfrac{f'(x) \, g(x) - f(x) \, g'(x)}{2[g(x)^{\frac{3}{2}}] \, f(x)}
Questão 87 - Jailson Bezerra
Solução:
Questão 93 - Atila Santos
Solução:
Questão 96 - Robson Santos
Seja C(t) a concentração de uma droga na corrente sanguínea. À medida que o corpo elimina a drog,C(t) diminui a uma taxa que é proporcional à quantidade da droga presente naquele tempo. Assim, C'(t) = -kC(t), em que k é um número positivo denominado constante de eliminação da droga.
(a) Se C_{0} for a concentração no instante t= 0, encontre a concentração no tempo t.
(b) Se o corpo eliminar a metade da droga em 30horas, quanto tempo levará para eliminar 90% da droga ?
Solução:
a) y = u - 20, \quad u(0) = 80 \\ y(0) = 80 - 20 = 60 \\ y(T) = 60e^{kT} \\ y(0,5) = 60e^{k\,(0,5)} = 60 - 20 \\ e^{0,5k} = \dfrac{40}{60} = \dfrac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad k = 2\, \ln{\dfrac{2}{3}} = \ln{\dfrac{4}{9}} \\ y(T) = 60e^{\ln{\tfrac{4}{9}}\, T} = 60 \, \left(\dfrac{4}{9} \right)^{T} \\ y(1) = 60 \, \left(\dfrac{4}{9} \right)^{1} = \dfrac{80}{30} = 26 \, \dfrac{2}{3}^{\circ}C \\ u(1) = 46 \, \dfrac{2}{3}^{\circ}C
b) u(T) = 40 \\ y(T) = 20 \\ y(T) = 60 \, \left(\dfrac{4}{9} \right)^{T} = 20 \quad \Rightarrow \quad \left(\dfrac{4}{9} \right)^{T} = \dfrac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad T \, \ln{\dfrac{4}{9}} = \ln{\dfrac{1}{3}} \quad \Rightarrow t =\frac{ln\frac{1}{3}}{ln\frac{4}{9}}\approx 1.35 hrs
Questão 98 - Antônio Wagner
V=\displaystyle\frac{\pi}{3}(\frac{3h}{10})^2 \displaystyle h=\frac{3\pi}{100}h^3
2=\displaystyle\frac{dv}{dt}=\frac{9\pi}{100}h^2\frac{dh}{dt}
\displaystyle\frac{dh}{dt}=\frac{200}{9\pi h^2}
\displaystyle\frac{200}{9\pi(5)^2}=\frac{8}{9\pi}cm/s
Questão 99 - José Hudson
Solução:
Questão 101 - Magno Braga
Solução:
Questão 107 - Lilia Cristina
\lim_{h\to0} \dfrac{\sqrt[4]{16+h}-2}{h}
Solução:
\lim_{h\to0} \dfrac{(16+h)\tfrac{1}{4}-2}{h} = \\
\lim_{h\to0} \dfrac{1}{4}\dfrac{(16+h\tfrac{-3}{4})}{1}= \\
\lim_{h\to0} \dfrac{1}{4}\dfrac{16+0\tfrac{-3}{4}}{1}= \\
\lim_{h\to0} \sqrt[4]{4^{-3}}
\aleph
Questão 04 - Antônio Wagner
Solução:
Questão 10 - Magno Braga
Solução:
Questão 12 - Lilia Cristina
y (arcsen 2x)^{2}
Solução:
y' = \dfrac{1}{\sqrt{1-(2x^{2})^{2}}} \\
y'=\dfrac{4x}{\sqrt{1-2x^{4}}}
Questão 13 - Jeovane Carneiro
y=\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2} }
Solução:
$ {y}' = \frac{x^{2}{(e^{\frac{1}{x} }) }'- e^{\frac{1}{x}}{(x^{2} )}'} {(x^{2})^{2} } =
\frac{x^{2}(e^{\frac{1}{x}})(\frac{-1}{x^{2}})- e^{\frac{1}{x} }(2x)}{x^{4} } =\frac{-e^{\frac{1}{x} }(1+2x)}{x^{4} } $
Questão 20 - Guilherme Fernandes
y = e^{x \cdot \sec{x}}
Solução:
y' = e^{x \cdot \sec{x}} \, (1 \cdot \sec{x} + x \cdot \sec{x} \cdot \mbox{tg}\,{x}) \\ y' = \sec{x} \cdot e^{x \cdot \sec{x}} \, (x \cdot \mbox{tg}\,{x} + 1)
Questão 26 - Matheus Matias
Solução:
Questão 36 - Pedro Soares
Solução:
Questão 37 - Matheus Matias
Solução:
Questão 38 - Jailson Bezerra
Solução:
Questão 44 - Diana Keli
y = \dfrac{\mbox{sen}\,{mx}}{x}
Solução:
y = \dfrac{\mbox{sen}\,{mx}}{x} \\ y' = \dfrac{(\mbox{sen}\,{mx})' \cdot x - x' \cdot (\mbox{sen}\,{mx})}{x^{2}} \\ y' = \dfrac{\cos{mx} \cdot x - 1 \cdot (\mbox{sen}\,{mx})}{x^{2}} \\ y' = \dfrac{mx \cdot \cos{x} - \mbox{sen}\,{mx}}{x^{2}}
Questão 45 - Marden Torres
y = \ln{(\cosh{3x})}
Solução:
y = \ln{(\cosh{3x})} \\ y' = \left(\dfrac{1}{\cosh{3x}} \right)\,(\mbox{senh}\,{3x})\,(3) \\ y' = 3\, \mbox{tgh}\,{3x}
Questão 46 - Diana Keli
y = \ln{\left|\dfrac{x^{2} - 4}{2x + 5} \right|}
Solução:
y = \ln{\left|\dfrac{x^{2} - 4}{2x + 5} \right|} \\ y' = \ln{\left|x^{2} - 4 \right|} - \ln{\left|2x + 5 \right|} \\ y' = \dfrac{2x}{x^{2} - 4} - \dfrac{2}{2x + 5}
Questões 57 - 59. Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado.
Questão 58 - José Hudson
y = \dfrac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}{,} \quad (0{,}\, -1)
Solução:
y' = \dfrac{2x \cdot [x^{2} + 1 - 2x \cdot (x^{2} - 1)]}{(x^{2} + 1)^{2}} \\ y' = \dfrac{4x}{(x^{2} + 1)^{2}} \\ y' = 0 \\ y - y_o = f'(x)\,(x - x_o) \\ y + 1 = 0\,(x - 0) \mbox{ ou } y = -1
Questão 59 - Atila Santos
Solução:
Questão 64 - Robson Santos
(a)Se f(x)=4x - tg x, -\pi/ 2<x< \pi/2 encontre f' e f'' .
(b)Verifique se suas respostas para a parte (a) são razoáveis comparando os gráficos de f, f' e f''.
Solução:
(a) f(x)=4x - tg x
f'(x)=4x - sec^{2} x
f''(x)=- 2sec^{2}(sec x \cdot tg x )
f''(x)=- 2sec^{2}\cdot tgx
(b) As novas respostas são razoáveis , já que o gráfico de f' é 0, onde f tem uma tangente horizontal e o gráfico de f' é positivo onde f tem tangentes com inclinação positiva e negativa onde f tem tangentes com decline negativo. A mesma correspondência é mantida entre os gráficos de f' e f''.
Questão 68 - Pedro Soares
Solução:
Questão 69 - Guilherme Fernandes
Suponha que h(x) = f(x) \, g(x) e F(x) = f(g(x)), onde f(2) = 3, g(2) = 5, g'(2) = 4, f'(2) = -2 e f'(5) = 11.
Encontre (a) h'(2) e (b) F'(2).
Solução:
(a) h(x) = f(x) \, g(x) \\ h'(x) = f'(x) \, g(x) + f(x) \, g'(x) \\ h'(2) = f'(2) \, g(2) + f(2) \, g'(2) \\ h'(2) = -2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 \\ h'(2) - 10 + 12 = 2.
(b) F(x) =f(g(x)) \\ F'(x) = f'(g(x)) \, g'(x) \\ F'(2) = f'(g(2)) \, g'(2) \\ F'(2) = f'(5) \cdot 4 \\ F'(2) = 11 \cdot 4 = 44.
Questão 71 - Jeovane Carneiro
f(x)=x^{2}g(x).
Solução:
{f}'(x)=x^{2} {g}'(x)+g(x)(2x)=x[x{g}'(x)+2g(x)]
Questão 80 - Marden Torres
Encontre h' em termos de f' e g'.
h(x) = \sqrt{\dfrac{f(x)}{g(x)}}
Solução:
h(x) = \sqrt{\dfrac{f(x)}{g(x)}} \\ h'(x) = \dfrac{f'(x) \, g(x) - f(x) \, g'(x)}{2 \sqrt{\dfrac{f(x)}{g(x)}} \, [g(x)^{2}]} \\ h'(x) = \dfrac{f'(x) \, g(x) - f(x) \, g'(x)}{2[g(x)^{\frac{3}{2}}] \, f(x)}
Questão 87 - Jailson Bezerra
Solução:
Questão 93 - Atila Santos
Solução:
Questão 96 - Robson Santos
Seja C(t) a concentração de uma droga na corrente sanguínea. À medida que o corpo elimina a drog,C(t) diminui a uma taxa que é proporcional à quantidade da droga presente naquele tempo. Assim, C'(t) = -kC(t), em que k é um número positivo denominado constante de eliminação da droga.
(a) Se C_{0} for a concentração no instante t= 0, encontre a concentração no tempo t.
(b) Se o corpo eliminar a metade da droga em 30horas, quanto tempo levará para eliminar 90% da droga ?
Solução:
a) y = u - 20, \quad u(0) = 80 \\ y(0) = 80 - 20 = 60 \\ y(T) = 60e^{kT} \\ y(0,5) = 60e^{k\,(0,5)} = 60 - 20 \\ e^{0,5k} = \dfrac{40}{60} = \dfrac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad k = 2\, \ln{\dfrac{2}{3}} = \ln{\dfrac{4}{9}} \\ y(T) = 60e^{\ln{\tfrac{4}{9}}\, T} = 60 \, \left(\dfrac{4}{9} \right)^{T} \\ y(1) = 60 \, \left(\dfrac{4}{9} \right)^{1} = \dfrac{80}{30} = 26 \, \dfrac{2}{3}^{\circ}C \\ u(1) = 46 \, \dfrac{2}{3}^{\circ}C
b) u(T) = 40 \\ y(T) = 20 \\ y(T) = 60 \, \left(\dfrac{4}{9} \right)^{T} = 20 \quad \Rightarrow \quad \left(\dfrac{4}{9} \right)^{T} = \dfrac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad T \, \ln{\dfrac{4}{9}} = \ln{\dfrac{1}{3}} \quad \Rightarrow t =\frac{ln\frac{1}{3}}{ln\frac{4}{9}}\approx 1.35 hrs
Questão 98 - Antônio Wagner
Um copo de papel tem a forma de um cone com 10 cm de altura e 3 cm de raio (no topo). Se for colocada água dentro do copo a uma taxa de 2 cm³/s, com que rapidez o nível da água se elevará quando ela tiver 5 cm de profundidade?
Solução:V=\displaystyle\frac{\pi}{3}(\frac{3h}{10})^2 \displaystyle h=\frac{3\pi}{100}h^3
2=\displaystyle\frac{dv}{dt}=\frac{9\pi}{100}h^2\frac{dh}{dt}
\displaystyle\frac{dh}{dt}=\frac{200}{9\pi h^2}
\displaystyle\frac{200}{9\pi(5)^2}=\frac{8}{9\pi}cm/s
Questão 99 - José Hudson
Solução:
Questão 101 - Magno Braga
Solução:
Questão 107 - Lilia Cristina
\lim_{h\to0} \dfrac{\sqrt[4]{16+h}-2}{h}
Solução:
\lim_{h\to0} \dfrac{(16+h)\tfrac{1}{4}-2}{h} = \\
\lim_{h\to0} \dfrac{1}{4}\dfrac{(16+h\tfrac{-3}{4})}{1}= \\
\lim_{h\to0} \dfrac{1}{4}\dfrac{16+0\tfrac{-3}{4}}{1}= \\
\lim_{h\to0} \sqrt[4]{4^{-3}}
\aleph
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