$\int$ Capítulo 5 - Seção 5.3 - O Teorema Fundamental do Cálculo (357)

Questões 19 - 44. Calcule a integral.


Questão 19- Robson Santos
$\displaystyle\int_{-1}^{2}(x^{3}-2x)dx$

Solução
$\displaystyle\int_{-1}^{2}(x^{3}-2x)dx=$
$\displaystyle\int_{-1}^{2}\frac{x^4 - x^2}{4}dx=$
$\displaystyle\left ( \frac{2^4-2^2}{4} \right )-\left ( \frac{(-1)^4-(-1)^2}{4} \right )= \left ( \frac{15-4}{5} \right )-\left ( \frac{1-1}{4} \right )=$
$\displaystyle\left ( \frac{16-16}{4} \right )-\left ( \frac{1-4}{4} \right )= \frac{0}{4}-\frac{-3}{4}=\frac{3}{4}$




Questão 21- Diana Keli
$\displaystyle\int_{1}^{4}(5-2t+3t^{2})dt$

Solução
$\displaystyle\int_{1}^{4}(5-2t+3t^{2})dt$
$\displaystyle\int_{1}^{4}(5t-t^{2}+t^{3})dt$

Substituindo t por 4 temos:
$(5\cdot4-4^{2}+4^{3})=$
$(20-16+64)=$
$68$

Substituindo t por 1 temos:
$(5\cdot1-1^{2}+1^{3})=$
$(5-1+1)=$
$5$

Substituindo os valores na fórmula a seguir temos:
$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)d(x)=F(b)-F(a)$
$68-5=63$

Questão 22 - Jailson Bezerra
$ \int_{0}^{1} \left (1 + \dfrac {u^4}{2} - \dfrac {2u^9}{5}  \right ) \cdot du $

Solução
$ \left [u + \dfrac {u^5}{2 \cdot 5} - \dfrac {2u^{10}}{5 \cdot 10}  \right ]_{0}^{1} = \left [u + \dfrac {u^5}{10} - \dfrac {u^{10}}{25}  \right ]_{0}^{1} = \left (1 + \dfrac {1^5}{10} - \dfrac {1^{10}}{25}  \right ) - 0 = \dfrac {53}{50} $


Questão 24- José Hudson
$\int_{1}^{8}\sqrt[3]{x}\cdot dx$
Solução
$\int_{1}^{8}x^{\dfrac{1}{3}}\cdot dx$

$\dfrac{x^{\dfrac{4}{3}}}{\dfrac{4}{3}}= x^{\dfrac{4}{3}}\cdot \dfrac{3}{4}= \left[\dfrac{3x^{\dfrac{4}{3}}}{4}\right ]_{1}^{8} = \left(\dfrac{3\sqrt[3]{8^{4}}}{4} \right)-\left(\dfrac{3\sqrt[3]{1^{4}}}{4} \right)$ 

Questão 25- Diana Keli
$\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{3}{t^{4}}dt$


Solução
$\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{3}{t^{4}}dt$
$\displaystyle\int_{1}^{2}3\cdot t^{-4} dt$
$\displaystyle\int_{1}^{2}\left ( \frac{3t^{-3}}{-3} \right )=$
$\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{-1}{t^{3}}=$

Substituindo t por 2 temos:
$\displaystyle\frac{-1}{2^{3}}= \frac{-1}{8}$

Substituindo t por 1 temos:
$\displaystyle\frac{-1}{1^{3}}=-1$


Substituindo os valores na fórmula a seguir temos:
$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)d(x)=F(b)-F(a)$

$\displaystyle\frac{-1}{8}-(-1)=\frac{7}{8}$




Questão 27 - Marden Torres
$\displaystyle \int_{0}^{2}x(\,2 + x^{5})dx$

Solução

$\displaystyle \int_{0}^{2}x(\,2 + x^{5})dx = $$\displaystyle\int_{0}^{2}(x^{2} + \frac{x^{7}}{7})dx = $$(4 + \frac{2^{7}}{7}) = (4 + \frac{128}{7}) =$

$\displaystyle\frac{28 + 128}{7} = \frac{156}{7}$



Questão 31- Antônio Wagner
$\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\sec^{2}t \cdot dt$

Solução
$\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\sec^{2}t \cdot dt=$
$\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\tan t=$
$\displaystyle\tan\frac{\pi}{a}-\tan 0=$
$1-0=1$


Questão 33- José Hudson
$\int_{1}^{2}(1+ 2y)^{2}\cdot dy$
Solução:
$\int_{1}^{2}(1+2y+\dfrac{4y^{3}}{3})dy$
$\left[y+2y^{2}+\dfrac{4y^{3}}{3}\right]_{1}^{2}= (2+8+\dfrac{32}{3})-(1+2+\dfrac{4}{3}) = 10+ \dfrac{32}{3}-3+ \dfrac{4}{3}$
$\dfrac{49}{3}$

Questão 34 - Guilherme Fernandes
$\displaystyle \int_{0}^{3} (2 \, \mbox{sen}\,{x} - e^{x})\, dx$

Solução:
$[-2 \, \cos{x} - e^{x}]_{0}^{3} \\ (-2 \, \cos{3} - e^{3}) - (-2 - 1) \\ 3 - 2 \, \cos{3} - e^{3}$


Questão 36 - Magno Braga
$$

Solução:
$$

Questão 38 - Guilherme Fernandes
$\displaystyle \int_{1}^{0} \cosh{t} \, dt$

Solução:
$[\mbox{senh}\,{t}]_{0}^{1} \\ \mbox{senh}\,{1} - \mbox{senh}\,{0} \\ \mbox{senh}\,{1}$


Questão 39- Antônio Wagner
$\displaystyle\int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\frac{8}{1+x^{2}}dx$

Solução
$\displaystyle\int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\frac{8}{1+x^{2}}dx=$

$\displaystyle\int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}8\arctan x= $

$\displaystyle8\left ( \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6} \right )=$

$\displaystyle8\left (\frac{\pi}{6} \right )=\frac{4\pi}{3}$

Questão 41 - Jailson Bezerra

$ \int_{-1}^{1} e^{u + 1}  = e \cdot\int_{-1}^{1} e^{u} $

Solução
$ \left [\dfrac {e^{u}}{u} \right ]_{-1}^{1} = e \cdot (e - e^{-1}) = e^2 - 1 $


Questão 42 - Marden Torres

$\displaystyle \int_{1/2}^{1/\sqrt{2}}\frac{4}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx$

Solução

 $\displaystyle \int_{1/2}^{1/\sqrt{2}}\frac{4}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = $ $\Big[4\,  \arcsin{x}\Big]_{1/2}^{1/\sqrt{2}} =$ $4 \Big(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\Big) =$ $4\Big(\frac{\pi}{12}\Big) = \frac{\pi}{3}$






$$\aleph$$