\int Capítulo 5 - Seção 5.3 - O Teorema Fundamental do Cálculo (357)
Questões 19 - 44. Calcule a integral.
Questão 19- Robson Santos
\displaystyle\int_{-1}^{2}(x^{3}-2x)dx
Solução
\displaystyle\int_{-1}^{2}(x^{3}-2x)dx=
\displaystyle\int_{-1}^{2}\frac{x^4 - x^2}{4}dx=
\displaystyle\left ( \frac{2^4-2^2}{4} \right )-\left ( \frac{(-1)^4-(-1)^2}{4} \right )= \left ( \frac{15-4}{5} \right )-\left ( \frac{1-1}{4} \right )=
\displaystyle\left ( \frac{16-16}{4} \right )-\left ( \frac{1-4}{4} \right )= \frac{0}{4}-\frac{-3}{4}=\frac{3}{4}
Questão 21- Diana Keli
\displaystyle\int_{1}^{4}(5-2t+3t^{2})dt
Solução
\displaystyle\int_{1}^{4}(5-2t+3t^{2})dt
\displaystyle\int_{1}^{4}(5t-t^{2}+t^{3})dt
Substituindo t por 4 temos:
(5\cdot4-4^{2}+4^{3})=
(20-16+64)=
68
Substituindo t por 1 temos:
(5\cdot1-1^{2}+1^{3})=
(5-1+1)=
5
Substituindo os valores na fórmula a seguir temos:
\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)d(x)=F(b)-F(a)
68-5=63
Questão 22 - Jailson Bezerra
\int_{0}^{1} \left (1 + \dfrac {u^4}{2} - \dfrac {2u^9}{5} \right ) \cdot du
Solução
\left [u + \dfrac {u^5}{2 \cdot 5} - \dfrac {2u^{10}}{5 \cdot 10} \right ]_{0}^{1} = \left [u + \dfrac {u^5}{10} - \dfrac {u^{10}}{25} \right ]_{0}^{1} = \left (1 + \dfrac {1^5}{10} - \dfrac {1^{10}}{25} \right ) - 0 = \dfrac {53}{50}
Questão 24- José Hudson
\int_{1}^{8}\sqrt[3]{x}\cdot dx
Solução
\int_{1}^{8}x^{\dfrac{1}{3}}\cdot dx
\dfrac{x^{\dfrac{4}{3}}}{\dfrac{4}{3}}= x^{\dfrac{4}{3}}\cdot \dfrac{3}{4}= \left[\dfrac{3x^{\dfrac{4}{3}}}{4}\right ]_{1}^{8} = \left(\dfrac{3\sqrt[3]{8^{4}}}{4} \right)-\left(\dfrac{3\sqrt[3]{1^{4}}}{4} \right)
Questão 25- Diana Keli
\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{3}{t^{4}}dt
Solução
\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{3}{t^{4}}dt
\displaystyle\int_{1}^{2}3\cdot t^{-4} dt
\displaystyle\int_{1}^{2}\left ( \frac{3t^{-3}}{-3} \right )=
\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{-1}{t^{3}}=
Substituindo t por 2 temos:
\displaystyle\frac{-1}{2^{3}}= \frac{-1}{8}
Substituindo t por 1 temos:
\displaystyle\frac{-1}{1^{3}}=-1
Substituindo os valores na fórmula a seguir temos:
\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)d(x)=F(b)-F(a)
\displaystyle\frac{-1}{8}-(-1)=\frac{7}{8}
Questão 27 - Marden Torres
\displaystyle \int_{0}^{2}x(\,2 + x^{5})dx
Solução
\displaystyle \int_{0}^{2}x(\,2 + x^{5})dx = \displaystyle\int_{0}^{2}(x^{2} + \frac{x^{7}}{7})dx = (4 + \frac{2^{7}}{7}) = (4 + \frac{128}{7}) =
\displaystyle\frac{28 + 128}{7} = \frac{156}{7}
Questão 31- Antônio Wagner
\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\sec^{2}t \cdot dt
Solução
\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\sec^{2}t \cdot dt=
\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\tan t=
\displaystyle\tan\frac{\pi}{a}-\tan 0=
1-0=1
Questão 33- José Hudson
\int_{1}^{2}(1+ 2y)^{2}\cdot dy
Solução:
\int_{1}^{2}(1+2y+\dfrac{4y^{3}}{3})dy
\left[y+2y^{2}+\dfrac{4y^{3}}{3}\right]_{1}^{2}= (2+8+\dfrac{32}{3})-(1+2+\dfrac{4}{3}) = 10+ \dfrac{32}{3}-3+ \dfrac{4}{3}
\dfrac{49}{3}
Questão 34 - Guilherme Fernandes
\displaystyle \int_{0}^{3} (2 \, \mbox{sen}\,{x} - e^{x})\, dx
Solução:
[-2 \, \cos{x} - e^{x}]_{0}^{3} \\ (-2 \, \cos{3} - e^{3}) - (-2 - 1) \\ 3 - 2 \, \cos{3} - e^{3}
Questão 36 - Magno Braga
$$
Solução:
$$
Questão 38 - Guilherme Fernandes
\displaystyle \int_{1}^{0} \cosh{t} \, dt
Solução:
[\mbox{senh}\,{t}]_{0}^{1} \\ \mbox{senh}\,{1} - \mbox{senh}\,{0} \\ \mbox{senh}\,{1}
Questão 39- Antônio Wagner
\displaystyle\int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\frac{8}{1+x^{2}}dx
Solução
\displaystyle\int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\frac{8}{1+x^{2}}dx=
\displaystyle\int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}8\arctan x=
\displaystyle8\left ( \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6} \right )=
\displaystyle8\left (\frac{\pi}{6} \right )=\frac{4\pi}{3}
Questão 41 - Jailson Bezerra
\int_{-1}^{1} e^{u + 1} = e \cdot\int_{-1}^{1} e^{u}
Solução
\left [\dfrac {e^{u}}{u} \right ]_{-1}^{1} = e \cdot (e - e^{-1}) = e^2 - 1
Questão 42 - Marden Torres
\displaystyle \int_{1/2}^{1/\sqrt{2}}\frac{4}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx
Solução
\displaystyle \int_{1/2}^{1/\sqrt{2}}\frac{4}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = \Big[4\, \arcsin{x}\Big]_{1/2}^{1/\sqrt{2}} = 4 \Big(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\Big) = 4\Big(\frac{\pi}{12}\Big) = \frac{\pi}{3}
\aleph
Questão 19- Robson Santos
\displaystyle\int_{-1}^{2}(x^{3}-2x)dx
Solução
\displaystyle\int_{-1}^{2}(x^{3}-2x)dx=
\displaystyle\int_{-1}^{2}\frac{x^4 - x^2}{4}dx=
\displaystyle\left ( \frac{2^4-2^2}{4} \right )-\left ( \frac{(-1)^4-(-1)^2}{4} \right )= \left ( \frac{15-4}{5} \right )-\left ( \frac{1-1}{4} \right )=
\displaystyle\left ( \frac{16-16}{4} \right )-\left ( \frac{1-4}{4} \right )= \frac{0}{4}-\frac{-3}{4}=\frac{3}{4}
Questão 21- Diana Keli
\displaystyle\int_{1}^{4}(5-2t+3t^{2})dt
Solução
\displaystyle\int_{1}^{4}(5-2t+3t^{2})dt
\displaystyle\int_{1}^{4}(5t-t^{2}+t^{3})dt
Substituindo t por 4 temos:
(5\cdot4-4^{2}+4^{3})=
(20-16+64)=
68
Substituindo t por 1 temos:
(5\cdot1-1^{2}+1^{3})=
(5-1+1)=
5
Substituindo os valores na fórmula a seguir temos:
\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)d(x)=F(b)-F(a)
68-5=63
Questão 22 - Jailson Bezerra
\int_{0}^{1} \left (1 + \dfrac {u^4}{2} - \dfrac {2u^9}{5} \right ) \cdot du
Solução
\left [u + \dfrac {u^5}{2 \cdot 5} - \dfrac {2u^{10}}{5 \cdot 10} \right ]_{0}^{1} = \left [u + \dfrac {u^5}{10} - \dfrac {u^{10}}{25} \right ]_{0}^{1} = \left (1 + \dfrac {1^5}{10} - \dfrac {1^{10}}{25} \right ) - 0 = \dfrac {53}{50}
Questão 24- José Hudson
\int_{1}^{8}\sqrt[3]{x}\cdot dx
Solução
\int_{1}^{8}x^{\dfrac{1}{3}}\cdot dx
\dfrac{x^{\dfrac{4}{3}}}{\dfrac{4}{3}}= x^{\dfrac{4}{3}}\cdot \dfrac{3}{4}= \left[\dfrac{3x^{\dfrac{4}{3}}}{4}\right ]_{1}^{8} = \left(\dfrac{3\sqrt[3]{8^{4}}}{4} \right)-\left(\dfrac{3\sqrt[3]{1^{4}}}{4} \right)
Questão 25- Diana Keli
\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{3}{t^{4}}dt
Solução
\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{3}{t^{4}}dt
\displaystyle\int_{1}^{2}3\cdot t^{-4} dt
\displaystyle\int_{1}^{2}\left ( \frac{3t^{-3}}{-3} \right )=
\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{-1}{t^{3}}=
Substituindo t por 2 temos:
\displaystyle\frac{-1}{2^{3}}= \frac{-1}{8}
Substituindo t por 1 temos:
\displaystyle\frac{-1}{1^{3}}=-1
Substituindo os valores na fórmula a seguir temos:
\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)d(x)=F(b)-F(a)
\displaystyle\frac{-1}{8}-(-1)=\frac{7}{8}
Questão 27 - Marden Torres
\displaystyle \int_{0}^{2}x(\,2 + x^{5})dx
Solução
\displaystyle \int_{0}^{2}x(\,2 + x^{5})dx = \displaystyle\int_{0}^{2}(x^{2} + \frac{x^{7}}{7})dx = (4 + \frac{2^{7}}{7}) = (4 + \frac{128}{7}) =
\displaystyle\frac{28 + 128}{7} = \frac{156}{7}
Questão 31- Antônio Wagner
\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\sec^{2}t \cdot dt
Solução
\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\sec^{2}t \cdot dt=
\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\tan t=
\displaystyle\tan\frac{\pi}{a}-\tan 0=
1-0=1
Questão 33- José Hudson
\int_{1}^{2}(1+ 2y)^{2}\cdot dy
Solução:
\int_{1}^{2}(1+2y+\dfrac{4y^{3}}{3})dy
\left[y+2y^{2}+\dfrac{4y^{3}}{3}\right]_{1}^{2}= (2+8+\dfrac{32}{3})-(1+2+\dfrac{4}{3}) = 10+ \dfrac{32}{3}-3+ \dfrac{4}{3}
\dfrac{49}{3}
Questão 34 - Guilherme Fernandes
\displaystyle \int_{0}^{3} (2 \, \mbox{sen}\,{x} - e^{x})\, dx
Solução:
[-2 \, \cos{x} - e^{x}]_{0}^{3} \\ (-2 \, \cos{3} - e^{3}) - (-2 - 1) \\ 3 - 2 \, \cos{3} - e^{3}
Questão 36 - Magno Braga
$$
Solução:
$$
Questão 38 - Guilherme Fernandes
\displaystyle \int_{1}^{0} \cosh{t} \, dt
Solução:
[\mbox{senh}\,{t}]_{0}^{1} \\ \mbox{senh}\,{1} - \mbox{senh}\,{0} \\ \mbox{senh}\,{1}
Questão 39- Antônio Wagner
\displaystyle\int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\frac{8}{1+x^{2}}dx
Solução
\displaystyle\int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\frac{8}{1+x^{2}}dx=
\displaystyle\int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}8\arctan x=
\displaystyle8\left ( \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6} \right )=
\displaystyle8\left (\frac{\pi}{6} \right )=\frac{4\pi}{3}
Questão 41 - Jailson Bezerra
\int_{-1}^{1} e^{u + 1} = e \cdot\int_{-1}^{1} e^{u}
\left [\dfrac {e^{u}}{u} \right ]_{-1}^{1} = e \cdot (e - e^{-1}) = e^2 - 1
Questão 42 - Marden Torres
\displaystyle \int_{1/2}^{1/\sqrt{2}}\frac{4}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx
Solução
\displaystyle \int_{1/2}^{1/\sqrt{2}}\frac{4}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = \Big[4\, \arcsin{x}\Big]_{1/2}^{1/\sqrt{2}} = 4 \Big(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\Big) = 4\Big(\frac{\pi}{12}\Big) = \frac{\pi}{3}
\aleph
Comentários
Postar um comentário