$\int$ Capítulo 8 - Seção 8.1 - Comprimento de Arco (493)

Questão 1 - José Hudson

Use a fórmula do comprimento de arco para encontrar o comprimento da curva $y  = 2x- 5$, $-1 \leq x \leq 3$ . Verifique o seu resultado observando que a curva é um segmento de reta e calculando seu comprimento pela fórmula da distância

Solução : 

$L = \displaystyle \int_{-1}^{3}\sqrt{1+(2)^{2}}d{x}= \sqrt{5}[3-(-1)] = 4\sqrt{5}$



Questão 2 - Marden Torres
 
Use a fórmula do comprimento de arco para encontrar o comprimento da curva
$y = \sqrt{2 - x^{2}}, 0\leq x \leq1$ Verifique sua resposta observando que a curva é parte de um círculo.

Solução:


$\displaystyle L = \int_{0}^{1}\sqrt{1 + \Big(\frac{dy}{dx}\Big)^{2}}$ $\displaystyle dx = \int_{0}^{1}\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2 - x^{2}}}$$\displaystyle dx = \int_{0}^{1}\frac{\sqrt{2}dx}{\sqrt{2- x^{2}}} = \sqrt{2}\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{(\sqrt{2})^{2} - x^{2}}}$

$\displaystyle =\sqrt{2}\Big[sen^{-1}(\frac{x}{\sqrt{2}})\Big]_{0}^{1}$ $= \sqrt{2}\Big[sen^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) - sen^{-1} 0 \Big]$ $= \sqrt{2}[\frac{\pi}{4} - 0] = \sqrt{2} \frac{\pi}{4}$

7–18 Encontre o comprimento exato da curva.

Questão 09 - Jailson Bezerra 
$\displaystyle y=\dfrac{x^5}{6} + \dfrac{1}{10x^3} \ = \displaystyle  \dfrac{x^5}{6} + \dfrac{x^{-3}}{10}$

Soluçaõ:

$\displaystyle L = \int_{}^{}\sqrt{1 + [f'(x)]^2} \displaystyle dx$

$\displaystyle y' = \dfrac{5x^4}{6} - \dfrac{x^{-4}}{10}$

$(f'(x))^2 = \dfrac {25x^8}{36} -2 \cdot \dfrac{5x^4}{6} \cdot \dfrac{x^{-4}}{10} + \dfrac {9x^{-8}}{100} \ = \dfrac {25x^8}{36} - \dfrac{1}{2} + \dfrac {9x^{-8}}{100}$

$\displaystyle L = \int_{1}^{2} \sqrt{1 + \dfrac {25x^8}{36} - \dfrac{1}{2} + \dfrac {9x^{-8}}{100}} \displaystyle dx  \ = \int_{1}^{2} \sqrt{ \dfrac {25x^8}{36} + \dfrac{1}{2} + \dfrac {9x^{-8}}{100}} \displaystyle dx$

$\displaystyle = \int_{1}^{2} \sqrt{ \Big( \dfrac {5x^4}{6} + \dfrac {3x^{-4}}{10} \Big) ^2} \displaystyle dx  = \int_{1}^{2} \Big( \dfrac {5x^4}{6} + \dfrac {3x^{-4}}{10} \Big) \displaystyle dx$

$\displaystyle =  \dfrac {5x^5}{5 \cdot 6} + \Big(\dfrac {3x^{-3}}{-3 \cdot 10} \Big) \Big|_{1}^{2}  =  \dfrac {x^5}{ 6} - \dfrac {x^{-3}}{10} \Big|_{1}^{2}$

$\displaystyle =  \dfrac {2^5}{ 6} - \dfrac {2^{-3}}{10} - \Big[\dfrac {1^5}{ 6} - \dfrac {1^{-3}}{10} \Big] \displaystyle =  \dfrac {32}{ 6} - \dfrac {1}{80} - \Big[\dfrac {1}{ 6} - \dfrac {1}{10} \Big]$

$\displaystyle =  \dfrac {2554}{ 480}  - \dfrac {1}{ 15} =  \displaystyle =  \dfrac {1277}{ 240}  - \dfrac {1}{ 15}  \displaystyle =  \dfrac {19155 - 240}{ 3600}   \displaystyle =  \dfrac {3783}{ 720}$


Questão 15 - Diana Keli
Encontre o comprimento exato da curva:

$\displaystyle y=\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}lnx,1\leq x\leq 2$

Soluçaõ:
$\displaystyle y=\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}\ln x$

$\displaystyle y'=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2x}$

$\displaystyle 1+(y')^{2}=1+\left ( \frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4x^{2}} \right )$

$\displaystyle =\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}x^{2}=\left ( \frac{1}{2}x+\frac{1}{2x} \right )^{2}$


$\displaystyle L = \int_{1}^{2}\sqrt{1+(y')^{2}} dx=\int_{1}^{2}\left | \frac{1}{2}x+\frac{1}{2x} \right |dx$

$\displaystyle =\int_{1}^{2}\left ( \frac{1}{2}x+\frac{1}{2x} \right )^{2}$

$\displaystyle=\left [ \frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}\ln x\right ]_{1}^{2}$

$\displaystyle =\left ( 1+\frac{1}{2}\ln 2 \right )-\left ( \frac{1}{4}+0 \right )$

$\displaystyle =\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\ln 2$