$\delta$ Capitulo 3 - Seção 3.9 - Taxas Relacionadas (pág. 223 a 225)
Questão 01 - Guilherme Oliveira
Se $V$ for o volume de um cubo com aresta de comprimento $x$ e, à medida que o tempo passa, o cubo se expandir, encontre $\displaystyle \frac{dV}{dt}$ em termos de $\displaystyle \frac{dx}{dt}$.
Solução:
$\displaystyle \frac{dV}{dt} = \frac{dx}{dt} \cdot \frac{dV}{dx}$
$V = x^{3}$
$\displaystyle \frac{dV}{dt} = 3x^{2} \cdot \frac{dx}{dt}$
Se $V$ for o volume de um cubo com aresta de comprimento $x$ e, à medida que o tempo passa, o cubo se expandir, encontre $\displaystyle \frac{dV}{dt}$ em termos de $\displaystyle \frac{dx}{dt}$.
Solução:
$\displaystyle \frac{dV}{dt} = \frac{dx}{dt} \cdot \frac{dV}{dx}$
$V = x^{3}$
$\displaystyle \frac{dV}{dt} = 3x^{2} \cdot \frac{dx}{dt}$
Questão 03 - Thales Fernandes
Solução:
Questão 04 - Marden Torres
O comprimento de um retângulo está aumentando a uma taxa de $8 \, \mathrm{cm/s}$ e
sua largura está aumentando numa taxa de $3 \, \mathrm{cm/s}$. Quando o comprimento
for $20 \, \mathrm{cm}$ e a largura for $10 \, \mathrm{cm}$, quão rápido a área do retângulo está
aumentando?
Solução:
$c = 20$
$l = 10$
$\displaystyle \frac{dc}{dT}= 8$
$\displaystyle \frac{dl}{dT}= 3 \, cm/s$
$\displaystyle \frac{dA}{dT}= \frac{dC}{dT} . l + C. \frac{dl}{dT}$
$\displaystyle \frac{dA}{dT}= 8 \cdot 10 + 20 \cdot 3 = 140 \, cm ^{2}/s$
Questão 05 - Jailson Bezerra
Solução:
Questão 07 - Antônio Wagner
Suponha que y=\sqrt{2x+1}, onde x e y são funções de t.
a) Se $\displaystyle\frac{dx}{dt}$ = 3, encontre $\displaystyle\frac{dy}{dt}$ quando x=4
Suponha que y=\sqrt{2x+1}, onde x e y são funções de t.
a) Se $\displaystyle\frac{dx}{dt}$ = 3, encontre $\displaystyle\frac{dy}{dt}$ quando x=4
Solução:
$\displaystyle\frac{dy}{dt}=\displaystyle\frac{d(\sqrt{2x+1})}{dt}$
$\displaystyle\frac{dy}{dt}=\displaystyle\frac{d(\sqrt{2x+1})}{d(2x+1)}x\displaystyle\frac{d{(2x+1)}}{dx}x\displaystyle\frac{dx}{dt}$
$\displaystyle\frac{dy}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt2x+1}$
$\displaystyle\frac{dy}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2(4)+1}x(3)$$\displaystyle\frac{dy}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt9}x3=1$
Questão 09 - José Hudson
Se $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$, onde $\displaystyle \frac {dx}{dt} = 5$ e $\displaystyle \frac {dy}{dt} = 4$, encontre $\displaystyle \frac {dz}{dt}$ quando $(x, y, z) = (2, 2, 1)$.
Solução:
$\displaystyle \frac {d}{dt} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = \frac {d}{dt} (9)$
$2x \cdot \displaystyle \frac {dx}{dt} + 2y \cdot \displaystyle\frac {dy}{dt} + 2z \cdot \frac{dz}{dt} = 0$
$2x \cdot 5 + 2y \cdot 4 + 2z \cdot \displaystyle \frac {dz}{dt} = 0$
$2 \cdot 2 \cdot 5 +2 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 1 \cdot \displaystyle \frac {dz}{dt} = 0$
$20 + 16 + 2 \cdot \displaystyle \frac {dz}{dt}=0$
$36 + 2 \cdot \displaystyle \frac {dz}{dt} =$
$2 \cdot \displaystyle\frac {dz}{dt} = -36$
$\displaystyle \frac {dz}{dt} = \frac {-36}{2} =$
$\displaystyle \frac {dz}{dt} = -18$
Questão 11 - Guilherme Oliveira
Um avião voa horizontalmente a uma altitude de $2 \, \mathrm{km}$, a $800 \, \mathrm{km/h}$, e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância entre o avião e a estação aumenta quando ele está a $3 \, mathrm{km}$ além da estação.
a) Quais são as quantidades dadas no problema?
Solução:
A altitude do avião, $2 \, \mathrm{km}$ e a sua velocidade, $800 \, \mathrm{km/h}$.
b) Qual é a incógnita?
Solução:
A taxa em que o avião se distancia da estação de radar, $\displaystyle \frac{dy}{dt}$.
c) Faça um desenho da situação para qualquer instante $t$.
Solução:
d) Escreva uma equação que relacione as quantias.
Solução:
Teorema de Pitágoras
$y^{2} = x^{2} + 2^{2}$
$y^{2} = x^{2} + 4$
e) Termine a resolução do problema.
Solução:
$\displaystyle \frac{dy}{dt} = \frac{dx}{dt} \cdot \frac{dh}{dt}$
$\displaystyle y^{2} = x^{2} + 2^{2} \quad \Rightarrow \quad y^{2} = x^{2} + 4 \quad \Rightarrow \quad 2y \cdot \frac{dy}{dt} = 2x \cdot \frac{dx}{dt} + 0$
$\displaystyle y = 3{,} \quad \frac{dx}{dt} = 800{,} \quad x = \sqrt{y^{2} - 4} \Rightarrow x = \sqrt{3^{2} - 4} = \sqrt{9 - 4} \Rightarrow x = \sqrt{5}$
$\displaystyle 2 \cdot 3 \cdot \frac{dy}{dt} = 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 800 \Rightarrow 6 \cdot \frac{dy}{dt} = 1600 \sqrt{5}$
$\displaystyle \frac{dy}{dt} = \frac{1600 \sqrt{5}}{6} \Rightarrow \frac{dy}{dt} = \frac{800 \sqrt{5}}{3}$
$\displaystyle \frac{dy}{dt} = \frac{800 \sqrt{5}}{3} \, \mathrm{km/h}$
Questão 13 - Robson Santos
Uma luz de rua é colocada no topo de um poste de $6 \, \mathrm{m}$ de altura. Um homem com $2 \, \mathrm{m}$ de altura anda, afastando-se do poste com velocidade de $1,5 \, \mathrm{m/s}$ ao longo de uma trajetória reta. Com que velocidade se move a ponta de sua sombra quando ele está a $10 \, \mathrm{m}$ do poste?
(a) Quais são as quantidades dadas no problema?
Solução:
Altura do poste $6 \, \mathrm{m}$, altura do homem $2 \, \mathrm{m}$, velocidade do homem $1{,}5 \, \mathrm{m/s}$.
(b) Qual é a incógnita?
Solução:
A taxa em que a ponta da sombra do homem está se movendo quando ele está a $10 \, \mathrm{m}$ do poste.
(c) Faça um desenho da situação para qualquer instante $t$.
Solução:
(d) Escreva uma equação que relacione as quantidades.
Solução:
$\displaystyle \frac {2}{x} = \displaystyle \frac {6}{x + y}$
$3x = x + y$
$y = 2x$
(e)Termine a resolução do problema.
Solução:
$\displaystyle \frac{Dy}{DT} = \displaystyle \frac{2Dx}{DT}$
$\displaystyle \frac {1{,}5}{2} = \displaystyle \frac {Dx}{DT}$
$\displaystyle \frac {Dx}{DT} = 0{,}75 \, \mathrm{m/s}$
$\displaystyle 1{,}25 + 0{,}75 = 2{,}25 \, \mathrm{m/s}$
$\displaystyle \frac {1{,}5}{2} = \displaystyle \frac {Dx}{DT}$
$\displaystyle \frac {Dx}{DT} = 0{,}75 \, \mathrm{m/s}$
$\displaystyle 1{,}25 + 0{,}75 = 2{,}25 \, \mathrm{m/s}$
Questão 15 - Alessandra
Dois carros iniciam o movimento partindo de um mesmo ponto um viaja para sul a $30 \, \mathrm{km/h}$ e o outro viaja para oeste a $72 \, \mathrm{km/h}$. A qual taxa a distância entre os carros está aumentando duas horas depois?
Solução:
$DX = 60 \, \mathrm{mi/h}$
$\displaystyle \frac {dy}{dt} = 25 \cdot z^2 = x + y^2$
$2z \displaystyle \frac {dt}{dt} = 2y \displaystyle \frac{dx}{dt}$
$z \displaystyle \frac {dx}{dt} + y \displaystyle\frac {dy}{dt}$
$ displaystyle\frac
{2z}{dt} = \displaystyle \frac {1}{z}( x \displaystyle \frac {dx}{dt} + y\displaystyle \frac{dy}{dt})$
Antes de 2 horas x = 2 horas
$x = 2(60) = 120$ e $y = 2(25) = 50$
$50 \displaystyle \frac {dz}{dt} = \displaystyle \frac {1}{z} (x \displaystyle \frac {dx}{dt} + y \displaystyle \frac {dy}{dt}) = \displaystyle \frac
{120(60) + (20)}{130} = 65 \, \mathrm{m/h}$
Questão 17 - Diana Keli
Um homem começa a andar para o norte a 1,2m/s a partir de um ponto P. Cinco minutos depois, uma mulher começa a andar para o sul a 1,6m/s de um ponto 200m a leste de P. A que taxa as pessoas estão se distanciando 15min após a mulher começar a andar?
Um homem começa a andar para o norte a 1,2m/s a partir de um ponto P. Cinco minutos depois, uma mulher começa a andar para o sul a 1,6m/s de um ponto 200m a leste de P. A que taxa as pessoas estão se distanciando 15min após a mulher começar a andar?
Solução:
$\displaystyle\frac{dy}{dt}=1,6$
$\displaystyle\frac{dx}{dt}=1,2$
$\displaystyle\frac{dz}{dt}=?$
$x=1080m$
$y=960$
$z=2049,78$
$(x+y)^{2}+200^{2}=z^{2}$
$2(x+y)(1*\displaystyle\frac{dx}{dt}+1(displaystyle\frac{dy}{dt})=2z*\displaystyle\frac{dz}{dt}$
$2(1080+960)(1,2+1,6)=2(2049,78)*\displaystyle\frac{dz}{dt}$
$4080(2,8)=\displaystyle\frac{dz}{dt}*4099,56$
$\displaystyle\frac{dz}{dt}=\displaystyle{11424}{4099,56}$
$\displaystyle\frac{dz}{dt}\approx 2,78m/s$
$\displaystyle\frac{dy}{dt}=1,6$
$\displaystyle\frac{dx}{dt}=1,2$
$\displaystyle\frac{dz}{dt}=?$
$x=1080m$
$y=960$
$z=2049,78$
$(x+y)^{2}+200^{2}=z^{2}$
$2(x+y)(1*\displaystyle\frac{dx}{dt}+1(displaystyle\frac{dy}{dt})=2z*\displaystyle\frac{dz}{dt}$
$2(1080+960)(1,2+1,6)=2(2049,78)*\displaystyle\frac{dz}{dt}$
$4080(2,8)=\displaystyle\frac{dz}{dt}*4099,56$
$\displaystyle\frac{dz}{dt}=\displaystyle{11424}{4099,56}$
$\displaystyle\frac{dz}{dt}\approx 2,78m/s$
Questão 19 - Alessandra Farias
A altura de um triângulo está aumentando a uma taxa de $1 \, \mathrm{cm/min}$ enquanto a área do triângulo está aumentando a uma taxa de $2 \, \mathrm{cm^{2}/min}$. A que taxa a base do triângulo está variando quando a altura for $10 \, \mathrm{cm}$ e a área for $100 \, \mathrm{cm^{2}}$
Solução:
$A
= \displaystyle \frac {1}{2} \cdot bh$
$\displaystyle \frac
{dh}{dt} = 1 \, \mathrm{cm/min}$
$\displaystyle \frac{da}{dt}
= 2 \, \mathrm{cm^{2}/min}$
$\displaystyle \frac
{da}{dt} = \displaystyle \frac {1}{2}(b \displaystyle \frac{dh}{dh} + h \cdot \displaystyle \frac {db}{dt}) = 10$
A = 100 $100 = \displaystyle \frac {1}{2}$
B = (10) $\displaystyle \frac {1}{2}$ B= 10 B = 20
$2 = \displaystyle \frac {1}{2} (20 \cdot 1 + 10) \displaystyle \frac {db}{dt}$
$4 = 20 + 10$
$\displaystyle \frac {db}{dt} = \displaystyle \frac {4 - 20}{10} = 1{,}6 \, \mathrm{cm/min}$
Questão 20 - José Hudson
Um bote é puxado em direção ao ancoradouro por uma corda que esá atada na proa do bote e que passa por uma polia sobre o ancoradouro(colocada 1m mais alto que a proa)).Se a corda for puxada a uma taxa de $1m/s$, quão rapido se aproxima o bote do ancoradouro, quando ele estiver a $8m$ dele?
Solução:
$\displaystyle \frac{db}{dt}$
$\displaystyle \frac{da}{dt}=1m/s$
$\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}$
$\displaystyle 2a \cdot \frac{da}{dt}=2b \cdot \frac{db}{dt}+0 $
c é uma constante, então $c=0$ pois a derivada de uma costante é $0$
Agora vamos descobrir o valor de a
$\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}$
$\displaystyle a^{2}=8^{2}+1^{2}$
$\displaystyle a^{2}=64+1$
$\displaystyle a=\sqrt{65}$
$\displaystyle 2\cdot \sqrt{65}\cdot 1=2 \cdot 8 \cdot \frac{db}{dt}$
$\displaystyle 16,12=2 \cdot8\cdot \frac{db}{dt}$
$\displaystyle \frac{16,12}{16}=\frac{db}{dt}$
$\displaystyle \frac{db}{dt}= 1,007$
Questão 20 - José Hudson
Um bote é puxado em direção ao ancoradouro por uma corda que esá atada na proa do bote e que passa por uma polia sobre o ancoradouro(colocada 1m mais alto que a proa)).Se a corda for puxada a uma taxa de $1m/s$, quão rapido se aproxima o bote do ancoradouro, quando ele estiver a $8m$ dele?
Solução:
$\displaystyle \frac{db}{dt}$
$\displaystyle \frac{da}{dt}=1m/s$
$\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}$
$\displaystyle 2a \cdot \frac{da}{dt}=2b \cdot \frac{db}{dt}+0 $
c é uma constante, então $c=0$ pois a derivada de uma costante é $0$
Agora vamos descobrir o valor de a
$\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}$
$\displaystyle a^{2}=8^{2}+1^{2}$
$\displaystyle a^{2}=64+1$
$\displaystyle a=\sqrt{65}$
$\displaystyle 2\cdot \sqrt{65}\cdot 1=2 \cdot 8 \cdot \frac{db}{dt}$
$\displaystyle 16,12=2 \cdot8\cdot \frac{db}{dt}$
$\displaystyle \frac{16,12}{16}=\frac{db}{dt}$
$\displaystyle \frac{db}{dt}= 1,007$
Questão 21 - Aline Cristina
Solução:
Questão 23 - Diana Keli
Está vazando água de um tanque cônico invertido a uma taxa de 10.000cm/min. Ao mesmo tempo a água esta sendo bombeada pra dentro do tanque a uma taxa constante. O tanque tem 6m de altura e o diâmetro no topo tem 4m. Se o nível da água estiver subindo a uma taxa de 20cm/min quando a altura da água for 2m, encontre a taxa segundo a qual a água esta sendo bombeada dentro do tanque. Solução:
R= 200cm
$\displaystyle\frac{dH}{dt}=20cm/min$
$\displaystyle\frac{dV}{dt}=?$
$\displaystyle\frac{R}{H}=\displaystyle\frac{2}{6}=H=3R$
$v=\displaystyle\frac{\pi *R^{2}*H}{3}$
$v=\displaystyle\frac{\pi*(\frac{\pi}{3})^{2}*H}{3}$
$v=\displaystyle\frac{\pi*H^{3}}{27}$
$\displaystyle\frac{dV}{dt}=\displaystyle\frac{dV}{dH}*\displaystyle\frac{dH}{dt}$
$\displaystyle\frac{\pi*H^{2}}{9}*20$
$\displaystyle\frac{800000\pi}{9}$
Questão 27 - Robson Santos
Uma esteira transportadora está descarregando cascalho a uma taxa de $3 \, \mathrm{m^{3}/min}$, construindo uma pilha na forma de cone com o diâmetro da base e altura sempre igual. Quão rápido a altura da pilha cresce quando está a $3 \, \mathrm{m}$ de altura?
Solução:
$\displaystyle \frac {dv}{dT} = 3 \, \mathrm{m^{3}/min}$
$\displaystyle \frac {dv}{dh} = \displaystyle \frac {3 \pi}{4} \cdot h^{2}$
$R = \displaystyle \frac {h}{2}$
Fórmula para achar o volume do raio:
$V = \pi \cdot R^{2} \cdot h$
$V = \pi \cdot \frac {h^{2}}{2} \cdot h = \displaystyle \frac{\pi}{4} \cdot h^{3}$
A relação da altura com o tempo :
$\displaystyle \frac {dh}{dT} = 3 \cdot \displaystyle \frac{4}{3\pi\cdot 3^{2}} \cdot$
$\displaystyle \frac {4}{9\pi} \, \mathrm{m/min}$
Questão 29 - Aline Cristina
Solução:
Questão 31 - Marden Torres
O topo de uma escada desliza, por uma parede vertical a uma taxa
de 0,15m/s . No momento em que a base da escada está a 3 m da parede,
ela afasta-se da parede à velocidade de 0,2 m/s . Qual o comprimento da
escada?
Solução:
$\displaystyle \frac{dy}{dt}= -0,15 \, \mathrm{m/s}$
$s^{2} = x^{2} + y^{2}$
$0 = 2x \cdot \displaystyle \frac{dx}{dt} + 2y \cdot \displaystyle \frac{dy}{dt}$
$ 6 \cdot 0{,}2 - 0{,}3 y = 0 $$
$ y= \displaystyle \frac{6 \cdot 0{,}2}{0{,}3}= 4 \, \mathrm{m} $
$s^{2} = x^{2} + y^{2}$
$s^{2} = 3^{2} + y^{2}$
$s = 5 $
Questão 35 - Valdelice Maia
Se dois resistores com resistências $R_{1}$ e $R_{2}$ estão conectados em
paralelo, como na figura, então a resistência total R, medida em ohms $(\Omega )$, é dada por $$\displaystyle \frac{1}{R}=\displaystyle \frac{1}{R_{1}}+ \displaystyle \frac{1}{R_{2}}$$ Se $R_{1}$ e $R_{2}$ estão aumentando a taxa de $0{,}3\Omega\mathrm{/s}$ e $0,2\Omega\mathrm{/s}$, respectivamente, quão rápido $R$ está variando quando $R_{1}=80\Omega$ e $R_{2}=100\Omega$?
Solução:
$\displaystyle \frac{1}{R}=\displaystyle\frac{1}{R_{1}}+\displaystyle\frac{1}{R_{2}}=\displaystyle\frac{1}{80}+\displaystyle\frac{1}{100}=\displaystyle\frac{180}{8000}=\displaystyle\frac{9}{400}$
$$R=\displaystyle\frac{400}{9}$$
$$R=\displaystyle\frac{400}{9}$$
$\displaystyle\frac{-1}{R_{2}}\cdot\displaystyle\frac{dR}{dt}=\displaystyle\frac{1}{R_{1}^{2}}\cdot\displaystyle\frac{dR^{1}}{dt}-\displaystyle\frac{1}{R_{2}^{2}}\cdot\displaystyle\frac{dR^{2}}{dt}=\displaystyle\frac{dR}{dt}=R_{2}\left ( \displaystyle\frac{1}{R_{1}^{2}}\cdot\displaystyle\frac{dR_{1}}{dt}+\displastyle\frac{1}{R_{2}^{2}}\cdot\displaystyle\frac{dR_{2}}{dt} \right )$
$\displaystyle\frac{dR}{dt}=\displaystyle\frac{400^{2}}{9^{2}}\cdot\left [ \displaystyle\frac{1}{80^{2}}\cdot(0,3)+ \displaystyle\frac{1}{100^{2}}\cdot(0,2) \right ]=\displaystyle\frac{107}{810}\approx 0,132\Omega\mathrm{/s}$
Questão 37 - Valdelice Maia
Dois lados de um triângulo têm comprimento de $12 \mathrm{m}$ e $15 \mathrm{m}$. O ângulo entre eles está aumentando a um taxa de de $2^{\circ}\mathrm{/min}$. A que taxa o comprimento de um terceiro lado está aumentando quando o ângulo entre os lados de comprimento fixo for $60^{\circ}$?
Solução:
$x^{2}=12^{2}+15^{2}-2(12)\cdot(15)\cos{ 0=369-360}\cos {0}=$ $2x\cdot\displaystyle\frac{dx}{dt}=360\,\mathrm{sem}{0}\cdot\displaystyle\frac{d0}{dt}= \displaystyle\frac{dx}{dt}=\displaystyle\frac{180\mathrm{sen}{0}}{x}\cdot\frac{d0}{dt}=$
$x=\sqrt{369-360\cos{60^{\circ}}}=\sqrt{189}=3\sqrt{21}=$ $\displaystyle\frac{dx}{dt}=\displaystyle\frac{180\mathrm{sen}\,{60^{\circ}}}{3\sqrt{21}}\cdot\displaystyle\frac{\pi }{90}=\displaystyle\frac{\pi \sqrt{3}}{3\sqrt{21}}=
$\displaystyle\frac{\sqrt{7\pi }}{21}\approx 0,396\,\mathrm{m/min}$
Questão 39 - Thales Fernandes
Solução:
Questão 41 - Antônio WagnerUm avião voa horizontalmente a uma altitude de 5km e passa diretamente sobre um teléscopio no chão. Quando o ângulo de elevação for $\displaystyle\frac{\pi}{3}$, esse ângulo estará diminuindo a uma taxa de $\displaystyle\frac{\pi}{6}$ /min. A que velocidade o avião está viajando naquele instante?
Solução:$cot\theta=\displaystyle\frac{x}{5}$$-csc^{2}\theta\displaystyle\frac{d\theta}{dt}=\displaystyle\frac{1}{5}\cdot\displaystyle\frac{dx}{dt}$$\displaystyle\frac{dx}{dt}=-5csc²\theta\displaystyle\frac{d\theta}{dt}$$\displaystyle\frac{dx}{dt}=-5csc²\displaystyle\frac{\pi}{3}\cdot(\displaystyle\frac{-\pi}{6})^{2}=\displaystyle\frac{5\pi}{6}\displaystyle({2}{sqrt3}²=\displaystyle\frac{10\pi}{9}aprox.3,49 Km/min$ z
Questão 43 - Jailson Bezerra
Solução:
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