$\delta$ Capítulo 2 - Seção 2.7 - Derivadas e Taxa de Variação (pág. 137 a 139)

Questão 04 - José Hudson

(a) Encontre a inclinação da reta tangente à curva $y = x - x^3$ no ponto $(1,0)$

(i) usando a Definição 1.

Solução:

$m = \lim\limits_{x \to a} \displaystyle\frac {f(x) - f(a)}{x - a}$

$m = \lim\limits_{x \to 1} \displaystyle\frac {x - x^{3} - 0}{x - 1}$

$m = \lim\limits_{x \to 1} \displaystyle\frac {x(1 - x^{2})}{x - 1}$

$m = \lim\limits_{x \to 1} \displaystyle\frac {x(x + 1)(1 - x)}{x - 1}$

$m = \lim\limits_{x \to 1} \displaystyle\frac {x(-(x - 1)(1 + x))}{x - 1}$

$m = \lim\limits_{x \to 1} -x(1 + x)$

$m = -1 (1 + 1) = -1(2) = -2$

(ii) usando a Equação 2.

Solução:

$m = \lim\limits_{h \to 0} \displaystyle\frac {f(x + h) - f(x)}{h}$

$m = \lim\limits_{h \to 0} \displaystyle\frac {((1 + h) - (1 + h)^{3}) - 0}{h}$

$m = \lim\limits_{h \to 0} \displaystyle\frac {1 + h -(1 + 3h + 3h^{2} + h^3)}{h}$

$m = \lim\limits_{h \to 0} \displaystyle\frac {-h^{3} -3h^{2} -2h}{h}$

$m = \lim\limits_{h \to 0} \displaystyle\frac {-h(-h^{2} -3h -2)}{h}$

$m = \lim\limits_{h \to 0} -h^{2} -3h -2$

$m = -2$

(b) Encontre a equação da reta tangente da parte (a).

Solução:

$y - f(a) = (f'(a))(x - a)$

$y - f(1) = (f'(1))(x - 1)$

$y - 0 = -2(x - 1)$

$y = -2x + 2$

(c) Faça um gráfico da curva da reta tangente em janelas retangulares cada vez menores centrados nos pontos $(1,0)$ até que a curva e a tangente pareçam indistinguíveis.

Solução:

Questão 07 - Jailson Bezerra

Solução:

Questão 10 - Diana Keli

(a) Encontre a inclinação da tangente à curva $y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}$ no ponto onde x = a.

Solução:

$f'(x)=\lim_{h\rigthtarrow}\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$              
$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x+h}}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}}{h}$

Multiplica-se a equação anterior pelo conjugado do numerador

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\displaystyle\frac{\frac{1}{\sqrt{x+h}}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}}{h}*\displaystyle\frac{(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x+h}}+\displaystyle\frac{1{\sqrt{x}})}{(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x+h}}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}})}$ 
$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\displaystyle\frac{(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x+h}})^{2}-(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}})^{2}}{h(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x+h}}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}})}$

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{\displaystyle\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+h}}{(\sqrt{x+h})(\sqrt{x})}}$

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{x-x-h}{x(x+h)}}{\displaystyle\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+h}}{(\sqrt{x+h})(\sqrt{x})}}$

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{-h}{x(x+h)}}{\displaystyle\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+h}}{(\sqrt{x+h})(\sqrt{x})}}$

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\displaystyle\frac{-h}{x(x+h)}*\displaystyle\frac{1}{h(\displaystyle\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+h}}{(\sqrt{x+h})(\sqrt{x})})}$

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\displaystyle\frac{-1}{x(x+h)}*\displaystyle\frac{1}{(\displaystyle\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+h}}{(\sqrt{x+h})(\sqrt{x})})}$

           

Considerando h=0 temos:

$f'(x)=\displaystyle\frac{-1}{x(x+0)(\displaystyle\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+0}}{(\sqrt{x+0})(\sqrt{x})})}$

$f'(x)=\displaystyle\frac{-1}{x^{2}(\displaystyle\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x}}{\sqrt{x}*\sqrt{x}})}$

$f'(x)=\displaystyle\frac{-1}{x^{2}(\displaystyle\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}*\sqrt{x}})+(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}*\sqrt{x}})}$

$f'(x)=\displaystyle\frac{-1}{x^{2}(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}^{2}})+(\displaystyle\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}^{2}})}$

$f'(x)=\displaystyle\frac{-1}{x^{2}(\displaystyle\frac{\sqrt{x}}{x})+(\displaystyle\frac{\sqrt{x}}{x})}$

$f'(x)=\displaystyle\frac{-1}{(\displaystyle\frac{x^{2}\sqrt{x}}{x})+(\displaystyle\frac{x^{2}\sqrt{x}}{x})}$

$f'(x)= \displaystyle\frac{-1}{\displaystyle\frac{2x^{2}\sqrt{x}}{x}}$

$f'(x)= \displaystyle\frac{-1}{2x\sqrt{x}}$

$f'(x)=\displaystyle\frac{-1}{2*x*x^{\displaystyle\frac{1}{2}}}$

$f'(x)= \displaystyle\frac{-1}{2x^{\displaystyle\frac{3}{2}}}$

(b) Encontre as equações das retas tangentes nos pontos (1,1) e (4, 1/2 )

Solução:

 No ponto (1,1) temos:

$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0}\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$f'(1) = \lim _{h\rightarrow 0}\displaystyle\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$

$f'(1) = \lim _{h\rightarrow 0}\displaystyle\frac{\frac{1}{\sqrt{1+h}}-1}{h}$

Multiplica-se a equação anterior pelo conjugado do numerador

$f'(1)=\lim_{h\rightarrow0}\displaystyle\frac{(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+h}}-1)}{h}*\displaystyle\frac{(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+h}}+1)}{(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+h}}+1)}$$

$f'(1)=\lim_{h\rightarrow0}\displaystyle\frac{(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+h}})^{2}-(1)^{2}}{h(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+h}}+ 1)}$$

$ f'(1)=\lim_{h\rightarrow0}\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{1+h}-1}{h(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+h}}+ 1)}$

$f'(1)=\lim_{h\rightarrow0}\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1-(1+h)}{1+h}}{h(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+h}}+ 1)}$

$f'(1)=\lim_{h\rightarrow0}\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1-1-h}{1+h}}{h(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+h}}+ 1)}$

$f'(1) = \lim _{h\rightarrow 0}\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{-1}{1+h}}{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+h}}+ 1}$

 Considerando h=0 temos:

$f'(1) =\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{-1}{1+0}}{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+0}}+ 1}$

$f'(1) = \displaystyle\frac{-1}{2}$

Substituindo o valor da derivada encontrada para encontrar a equação da reta que tangencia o ponto (1,1) temos:

$f'(x) = \displaystyle\frac{y-y_{0}}{x-x_{0}}$

$\displaystyle\frac{-1}{2} = \displaystyle\frac{y-1}{x-1}$

$2y-2 = -x+1$$

Logo, a equação da reta é:

$x + 2y-3 = 0$

No ponto (4, 1/2 ) podemos resolver usando também outro método:

Pega a derivada encontrada no item (a) e substitui o valor de x

$f'(x) =\displaystyle \frac{-1}{2x^{\displaystyle\frac{3}{2}}}$

$f'(x) =\displaystyle \frac{-1}{2(4)^{\displaystyle\frac{3}{2}}}$

$f'(x) = \displaystyle\frac{-1}{2(2^{2})^{\displaystyle\frac{3}{2}}}$

$f'(x) =\displaystyle \frac{-1}{2*2^{3}}$

$f'(x) =\displaystyle \frac{-1}{2^{4}}$

$f'(x) = \displaystyle\frac{-1}{16}$

Substitui o valor encontrado para descobrir a equação da reta

$f'(x) = \displaystyle\frac{y - y_{0}}{x - x_{0}}$

$\frac{-1}{16} = \displaystyle\frac{y - \displaystyle\frac{1}{2}}{x - 4}$

$\frac{-1}{2} = \displaystyle\frac{-1}{16}(x - 4)$

$y - \frac{1}{2} =\displaystyle \frac{-1}{16}x +\displaystyle\frac{1}{4}$

$\frac{1}{16}x - \displaystyle\frac{1}{4} - \displaystyle\frac{1}{2} +y = 0$

$\frac{1}{16}x+y-\displaystyle\frac{3}{4} = 0$

(c) Faça o gráfico da curva e de ambas as tangentes em uma mesma tela.

Questão 17 - Guilherme Oliveira

Para a função $g$ cujo gráfico é dado, arrume os seguintes números em ordem crescente e explique seu raciocínio:

$0$, $g'(-2)$, $g'(0)$, $g'(2)$, $g'(4)$

Solução: $g'(0)$ é o único valor negativo. A inclinação em $x = 4$ é menor que em $x = 2$ e as duas são menores que em $x = -2$. Logo $g'(0) < 0 < g'(4) < g'(2) < g'(-2)$

Questão 22 - Val Maia

Solução:

Questão 24 - Thales Fernandes

Solução:

Questão 25 - Robson Santos

(a) Se $F(x) = 5x / (1 + x^2)$, encontre $F'(2)$ e use-o para encontrar uma equação da reta tangente à curva $y = 5x / (1 + x^2)$ nos pontos $(2,2)$.

Solução:

$f'(2) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{F(2 + h) - F(2)}{h}$

$f'(2)= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{ \frac{5(2 + h)}{1 + (2 + h)^2}-2}{h}$

$f'(2)= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{ \frac{5h + 10}{h^2 + 4h + 5}-2}{h}$

$f'(2)= \lim_\limits{h \rightarrow 0} \frac{ \frac{5h + 10 - 2(h^2 + 4h + 5)}{h^2 + 4h + 5}}{h}$

$f'(2)= \lim_\limits{h \rightarrow 0} \frac{-2h^2 - 3h}{h(h^2 + 4h + 5)}$

$f'(2)= \lim_\limits{h \rightarrow 0} \frac{h(-2h - 3)}{h(h^2 + 4h + 5)}$

$f'(2)= \lim_\limits{h \rightarrow 0} \frac{-2h -3}{h^2 + 4h + 5}$

Então $f'(2)= \frac{-3}{5}$

Portanto , a equação da linha tangente em $(2,2)$ é: $y = \frac{-3}{5}x + \frac{16}{5}$

(b) Ilustre a parte (a) traçando a curva e a reta tangente na mesma tela.

Solução:

Questão 27 - Alessandra Farias

Solução:

Questão 28 - Jailson Bezerra

Solução:

Questão 29 - Alessandra Farias

Solução:

Questão 30 - Thales Fernandes

Solução:

Questão 31 - José Hudson

Solução:

Questão 33 - Diana Keli

Cada limite representa a derivada de certa função f em certo número a. Diga o que são f e a em cada caso.

Solução:

$\lim_{h\rightarrow0}\frac{(1+h)^{10}-1}{h}$

$f'(1)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{(1+h)^{10}-1}{h}$

Logo: 

        

$f(x)=x^{10};x=1$

Questão 35 - Robson Santos

Cada limite representa a derivada de certa função f em certo número a. Diga o que são f e a em cada caso.

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 5}=\frac{2^x-32}{x-5}$

Solução:

Pela equação :

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 5}=\frac{2^x-32}{x-5}$

Temos:
$\displaystyle f(x)=2^x$ ,

$\displaystyle a=5$

Questão 36 - Aline Cristina

Solução:

Questão 38 - Marden Torres

Cada limite representa a derivada de certa função f em certo número a. Diga o que são f e a em cada caso.

$\lim\limits_{t \rightarrow 1} \frac {t^{4}  + t -2}{t-1}$

Solução:

$\lim\limits_{t \rightarrow 1} \frac {t^{4}  + t -2}{t-1}$

$\lim_{t \rightarrow 1}\frac {(t-1).(t^{3}+t^{2}+t+2)}{t-1}=5$

Questão 40 - Val Maia

Solução:

Questão 43 - Guilherme Oliveira

Solução:

Questão 44 - Antônio Wagner
O número N de franquias de uma certa cadeia popular de cafeteiras

é mostrada na tabela.

a) Determine a taxa média de crescimento; (i) de 2006 a 2008; (ii) de 2006 a 2007; (iii) de 2005 a 2006.

Solução:
(i) $\displaystyle\frac{N(2008) - (2006)}{2}$
     $\displaystyle\frac{16,680 - 12,440}{2}$
     $\displaystyle\frac{4240}{2}=2,120$

(ii) $\displaystyle\frac{N(2007) - (2006)}{2}$
      $\displaystyle\frac{15,011 - 12,440}{1}=2,571$

(iii) $\displaystyle\frac{N(2006) - (2005)}{1}$
       $\displaystyle\frac{12,440 - 10,241}{1}=2,199$

b) Dê uma estimativa de taxa de crescimento instantâneo em 2006 tomando a média de duas taxas médias de variação.

Solução:
Usando os valores (ii) e (iii), temos:
$\displaystyle\frac{2,571 + 2,199}{2}=2,385$

c) Dê uma estimativa de taxa de crescimento instantâneo em 2006 medindo a inclinação de uma tangente.


Solução:
Estimando 2005 como, 10,060 e 2007 como, 14,800 a inclinação é

2006 é $\displaystyle\frac{14,800 - 10,060}{2}$
            $\displaystyle\frac{4,740}{2}=2,370$







d) Estime a taxa instantânea de crescimento em 2007 e compare com a taxa de crescimento em 2006. O que você pode concluir?

Solução:
Estimando 2006 como, 12,860 e 2008 como, 17,100, temos:

2007 é $\displaystyle\frac{17,100 - 12,860}{2}$
            $\displaystyle\frac{4,240}{2}=2,120$
Posso concluir que houve uma queda na taxa de crescimento em comparação ao ano de 2006.

Questão 46 - Antônio Wagner

Solução:

Questão 50 - Marden Torres

A quantidade (em quilogramas) de café vendida por uma companhia para uma lanchonete ao preço de p dólares por quilogramas é dada por . $Q = f (p)$

a) Qual o significado da derivada ? Quais são suas unidades?

Solução:

$f '(8)$ é a taxa de mudança da quantidade de café vendido em relação ao preço por libra quando o preço é de US $ 8 por libra.

As unidades para $f '(8)$ são libras / (dólares / libra).

b) é positivo ou negativo? Explique.

Solução:

$f '(8)$ é negativo, uma vez que a quantidade de café vendida diminuirá quando o preço cobrado por ele aumentar. As pessoas geralmente estão menos dispostas a comprar um produto quando seu preço aumenta.