$\delta$ Capítulo 4 - Seção 4.7 - Problemas de Otimização (pág. 299 a 304)
Questão 01 - Alessandra Farias
Solução:
Foi do menor para o maior , ou seja , é ponto de mínimo.
a) Como no Exemplo 6, vemos que a função de demanda linear é linear. Nós recebemos que $p(1000) = 450$ e deduzimos que $p(1100) = 440$, uma vez que uma redução de R$10 no preço aumenta as vendas em 100 por semana. A inclinação para p é
$\displaystyle\frac{440 - 450}{1100 - 10000} = -\frac {1}{10}$,
então uma equação é $p - 450 = -\frac{1}{10}(x - 1000)$ ou $(x) = - \frac{1}{10}x + 550$
b) $R(x) = xp(x) = -\frac{1}{10}x^{2} + 550x$
$R´(x) = -\frac{1}{5}x + 550 = 0$ quando $ x = 5(550) = 2750 $
$p(2750) = 275$, então o desconto deve ser $450 - 275 = 175$
c) $C(x) = 68,000 + 150x$
$P(x) = R(x) - C(x) = -\frac{1}{10}x^{2} + 550x - 68,000 - 150x = -\frac{1}{10}x^{2} + 400x - 68,000$
$P´(x) = -\frac{1}{5} + 400 = 0$ quando $x = 2000$
$P(2000) = 350$ Portanto, o desconto para maximizar os lucros deve ser
450 - 350 = 100
Solução:
Questão 05 - Guilherme Oliveira
Qual é a distância máxima entre a reta tangente $y = x + 2$ e a parábola $y = x^{2}$ para $-1 \le x \le 2$?
Qual é a distância máxima entre a reta tangente $y = x + 2$ e a parábola $y = x^{2}$ para $-1 \le x \le 2$?
Solução:
$f(x) = (x + 2) - x^{2}$
$f'(x) = 1 - 2x = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x = \displaystyle \frac{1}{2}$
$\displaystyle f(-1) = (-1 + 2) - (-1)^{2} = 0 \qquad f\bigg(\frac{1}{2}\bigg) = \bigg( \frac{1}{2} + 2\bigg) - x^{\frac{1}{2}} = \frac{9}{4} \qquad f(2) = (2 + 2) - 2^{2} = 0$
$\displaystyle x = \frac{1}{2}$ é o máximo absoluto.
A distância máxima é $\displaystyle f\bigg(\frac{1}{2}\bigg) = \frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$
$f(x) = (x + 2) - x^{2}$
$f'(x) = 1 - 2x = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x = \displaystyle \frac{1}{2}$
$\displaystyle f(-1) = (-1 + 2) - (-1)^{2} = 0 \qquad f\bigg(\frac{1}{2}\bigg) = \bigg( \frac{1}{2} + 2\bigg) - x^{\frac{1}{2}} = \frac{9}{4} \qquad f(2) = (2 + 2) - 2^{2} = 0$
$\displaystyle x = \frac{1}{2}$ é o máximo absoluto.
A distância máxima é $\displaystyle f\bigg(\frac{1}{2}\bigg) = \frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$
Questão 07 - Guilherme Oliveira
Solução:
Questão 11 - Antônio Wagner
Solução:
Questão 14 - Robson Santos
Uma caixa com base quadrada e sem tampa tem volume de $32 000 cm^3$. Encontre as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado.
Uma caixa com base quadrada e sem tampa tem volume de $32 000 cm^3$. Encontre as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado.
Solução:
$v = $32 000 cm^3$
$\displaystyle x^2 \cdot y = 32000$
$\displaystyle y = \frac{32000}{x^2}$
$\displaystyle A(x,y) = x^2 + 4 + y $
$\displaystyle A(x,y) = x^2 + 4x\cdot \frac{32000}{x^2} $
$\displaystyle A(x) = x^2+\frac{128000}{x}$
$\displaystyle A'(x) = 0$
$\displaystyle 2x - \frac{128000}{x^2}=0 $
$ \displaystyle 2x^3 = 128000 $
$\displaystyle x^3 =64000\therefore x=40$
$\displaystyle f'(20)= 40 -320 = -280$
$\displaystyle f'(60)= 120 - 35,55= 84,44$
$v = $32 000 cm^3$
$\displaystyle x^2 \cdot y = 32000$
$\displaystyle y = \frac{32000}{x^2}$
$\displaystyle A(x,y) = x^2 + 4 + y $
$\displaystyle A(x,y) = x^2 + 4x\cdot \frac{32000}{x^2} $
$\displaystyle A(x) = x^2+\frac{128000}{x}$
$\displaystyle A'(x) = 0$
$\displaystyle 2x - \frac{128000}{x^2}=0 $
$ \displaystyle 2x^3 = 128000 $
$\displaystyle x^3 =64000\therefore x=40$
$\displaystyle f'(20)= 40 -320 = -280$
$\displaystyle f'(60)= 120 - 35,55= 84,44$
Foi do menor para o maior , ou seja , é ponto de mínimo.
Questão 15 - Aline Cristina
Solução:
Questão 19 - Thales Fernandes
Solução:
Questão 21 - Marden Torres
Solução:
Questão 31 - Jailson Bezerra
Solução:
Questão 33 - Jailson Bezerra
Solução:
Questão 41 - José Hudson
Solução:
Questão 43 - Antônio Wagner
Solução:
Questão 45 - Diana Keli
Solução:
Questão 51 - Aline Cristina
Solução:
Questão 53 - Diana Keli
Solução:
Questão 59 - Alessandra Farias
Solução:
Questão 61 - Marden Torres
a) Encontre a função demanda.
b) Que desconto a companhia deveria oferecer ao comprador para maximizar sua receita?
c) Se sua função custo semanal for C(x) 68 000 150x, como o fabricante deveria escolher o tamanho do desconto para maximizar seu lucro?
Um fabricante tem vendido 1 000 aparelhos de televisão de tela plana por semana, a 450 cada. Uma pesquisa de mercado indica que para cada 10 de desconto oferecido ao comprador, o número de aparelhos vendidos aumenta 100 por semana.
a) Encontre a função demanda.
b) Que desconto a companhia deveria oferecer ao comprador para maximizar sua receita?
c) Se sua função custo semanal for C(x) 68 000 150x, como o fabricante deveria escolher o tamanho do desconto para maximizar seu lucro?
Solução:
a) Como no Exemplo 6, vemos que a função de demanda linear é linear. Nós recebemos que $p(1000) = 450$ e deduzimos que $p(1100) = 440$, uma vez que uma redução de R$10 no preço aumenta as vendas em 100 por semana. A inclinação para p é
$\displaystyle\frac{440 - 450}{1100 - 10000} = -\frac {1}{10}$,
então uma equação é $p - 450 = -\frac{1}{10}(x - 1000)$ ou $(x) = - \frac{1}{10}x + 550$
b) $R(x) = xp(x) = -\frac{1}{10}x^{2} + 550x$
$R´(x) = -\frac{1}{5}x + 550 = 0$ quando $ x = 5(550) = 2750 $
$p(2750) = 275$, então o desconto deve ser $450 - 275 = 175$
c) $C(x) = 68,000 + 150x$
$P(x) = R(x) - C(x) = -\frac{1}{10}x^{2} + 550x - 68,000 - 150x = -\frac{1}{10}x^{2} + 400x - 68,000$
$P´(x) = -\frac{1}{5} + 400 = 0$ quando $x = 2000$
$P(2000) = 350$ Portanto, o desconto para maximizar os lucros deve ser
450 - 350 = 100
Questão 63 - Val Maia
Solução:
Questão 65 - José Hudson
Um ponto P precisa ser localizado em algum ponto sobre a reta AD de forma que o comprimento total L de fios ligando P aos pontos A,B e C seja minimizado (Veja a figura). Expresse L como uma função de x = |AP| use os gráficos de L d dL/dx para estimar o valor do mínimo de L.
Solução:
Um ponto P precisa ser localizado em algum ponto sobre a reta AD de forma que o comprimento total L de fios ligando P aos pontos A,B e C seja minimizado (Veja a figura). Expresse L como uma função de x = |AP| use os gráficos de L d dL/dx para estimar o valor do mínimo de L.
Solução:
$\displaystyle |DA| = |AP|+|PD| = 5 = X + |PD| = |PD| = 5 - X.$
$\displaystyle A^{2}= B^{2}+C^{2}$
$\displaystyle L(x) = |AP|+|BP|+|CP| = x + \sqrt{(5 - x)^{2}+ 2^{2}}+\sqrt{(5 - x)^{2}+ 3^{2}} $
$\displaystyle = x + \sqrt {x^{2} - 10x + 29} + \sqrt{x^{2} - 10x + 34}$
$ \displaystyle L'(x)= 1+ \frac{x- 5}{\sqrt{x^{2}-10x + 29} } + \frac{x- 5}{\sqrt{x^{2}-10x + 34}}$
$\displaystyle L(3.59)= 9.35m$
$\displaystyle A^{2}= B^{2}+C^{2}$
$\displaystyle L(x) = |AP|+|BP|+|CP| = x + \sqrt{(5 - x)^{2}+ 2^{2}}+\sqrt{(5 - x)^{2}+ 3^{2}} $
$\displaystyle = x + \sqrt {x^{2} - 10x + 29} + \sqrt{x^{2} - 10x + 34}$
$ \displaystyle L'(x)= 1+ \frac{x- 5}{\sqrt{x^{2}-10x + 29} } + \frac{x- 5}{\sqrt{x^{2}-10x + 34}}$
$\displaystyle L(3.59)= 9.35m$
Questão 67 - Robson Santos
Seja $v_{1}$ a velocidade da luz no ar e $v_{2}$ a velocidade da luz na água. De acordo com o Princípio de Fermat, um raio de luz viajará de um ponto A no ar para um ponto b na água por um caminho ACB que minimiza o tempo gasto. Mostre que $\displaystyle \frac{sen\Theta _{1}}{sen\Theta ^{2}}= \frac{v_{1}}{v^{2}}$ onde $\Theta ^{1}$ ( o ângulo de incidência) e $\Theta ^{2}$ ( o ângulo da refração) são conforme mostrados. Essa equação é conhecida como a Lei de Snell.
Seja $v_{1}$ a velocidade da luz no ar e $v_{2}$ a velocidade da luz na água. De acordo com o Princípio de Fermat, um raio de luz viajará de um ponto A no ar para um ponto b na água por um caminho ACB que minimiza o tempo gasto. Mostre que $\displaystyle \frac{sen\Theta _{1}}{sen\Theta ^{2}}= \frac{v_{1}}{v^{2}}$ onde $\Theta ^{1}$ ( o ângulo de incidência) e $\Theta ^{2}$ ( o ângulo da refração) são conforme mostrados. Essa equação é conhecida como a Lei de Snell.
Solução:
O tempo total é t(x) = A + B
$\displaystyle t(x) = \frac{\sqrt{a^2+x^2}}{v_{1}}+ \frac{\sqrt{b^2+(d-x^2)}}{v^{2}}$, 0 < x < d
$\displaystyle t'(x) = \frac{x}{v_{1}\sqrt{a^2+x^2}}- \frac{d-x}{v^{2}\sqrt{b^2+(d-x^2)}}= \frac{sen\Theta _{1}}{v_{1}}- \frac{sen\Theta_{2} }{v_{2}}$
$\displaystyle t'(x) = 0$
$\displaystyle t'(x) = \frac{sen\Theta _{1}}{v_{1}}= \frac{sen\Theta _{1}}{v_{2}}$
$\displaystyle t(x) = \frac{\sqrt{a^2+x^2}}{v_{1}}+ \frac{\sqrt{b^2+(d-x^2)}}{v^{2}}$, 0 < x < d
$\displaystyle t'(x) = \frac{x}{v_{1}\sqrt{a^2+x^2}}- \frac{d-x}{v^{2}\sqrt{b^2+(d-x^2)}}= \frac{sen\Theta _{1}}{v_{1}}- \frac{sen\Theta_{2} }{v_{2}}$
$\displaystyle t'(x) = 0$
$\displaystyle t'(x) = \frac{sen\Theta _{1}}{v_{1}}= \frac{sen\Theta _{1}}{v_{2}}$
t'(x) > 0
Questão 69 - Val Maia
Solução:
Questão 77 - Thales Fernandes
Solução:
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