$\delta$ Capítulo 3 - Seção 3.10 - Aproximações Lineares e Diferenciais (pág. 229 a 231)

Questão 01 - Guilherme Oliveira
Encontre a linearização $L(x)$ da função em $a$.
$f(x) = x^{4} + 3x^{2}, \; a = -1$
Solução:
$L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$
$f(a) = a^{4} + 3a^{2}$
$f(-1) = (-1)^{4} + 3(-1)^{2} = 1 + 3 = 4$
$f'(a) = 4a^{3} + 6a$
$f'(-1) = 4(-1)^{3} + 6(-1) = -4 - 6 = -10$
$L(x) = 4 + (-10)(x - (-1))$
$L(x) = 4 - 10(x + 1)$
$L(x) = 4 -10x -10$
$L(x) = -10x - 6$





Questão 03 - Antônio Wagner
Encontre a linearização L(x) da função em a.
$f(x)=\sqrt{x}$ , a = 4

Solução:

$f(x)=\sqrt{x}$
$f'(x) = \displaystyle\frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2}}$
$f'(4) = \displaystyle\frac{1}{2}4^{\frac{-1}{2}}$
$f'(4) = 1*4^{-1}$
$f'(4) = \displaystyle\frac{1}{4}$

$L(x) = f(x) + f'(x0)(x-x0)$
$L(x) = 2 +\displaystyle\frac{1}{4}*(x-4)$
$L(x) = 2 +\displaystyle\frac{1}{4}* x-\displaystyle\frac{4}{4}$
$L(x) = 2 +\displaystyle\frac{1}{4} x-1$
$L(x) = \displaystyle\frac{1}{4} x-1$



Questão 05 - Val Maia
Solução:



Questão 06 - Aline Cristina

Encontre a aproximação linear da função $d(x) = \sqrt[3]{1 + x}$ em $a = 0$ e use-a para aproximar os números $\sqrt[3]{0{,}95}$ e $\sqrt[3]{1{,}1}$. Ilustre, fazendo os gráficos de $g$ e da reta tangente.

Solução:

$g(x) = \sqrt[3]{1 + x} = (1 + x)^{\frac{1}{3}}$

$g´(x) = \displaystyle \frac{1}{3}(1 + x)$

$g(0) = 1$

$g´(0) = \displaystyle \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{1 + x}$

$g(x) = g(0) + g´(0)(x – 0) = 1 + \displaystyle \frac{1}{3}$

$\sqrt[3]{0{,}95} = \sqrt[3]{1 + (-0{,}05)} \approx 1 + \displaystyle \frac{1}{3} (- 0{,}05) = 0{,}983$

$\sqrt[3]{1{,}1} = \sqrt[3]{1 + 0{,}1} \approx 1 + \displaystyle \frac{1}{3} (0{,}1) = 1{,}03$

Questão 07 - Thales Fernandes
Solução:



Questão 09 - Antônio Wagner
Solução:



Questão 11- Diana Keli
Encontre a diferencial da função.
(a) $y=x^{2}sen2x$

Solução
$y=x^{2}sen2x$
$dy=f'(x)dx$
$y=f(x)=x^{2}sen2x$
$f'(x)=2x(xcos+sen2x)dx$

(b)$y=ln\sqrt{1+t^{2}}$

Solução

$y=ln\sqrt{1+t^{2}}$
$\displaystyle\frac{1}{2}ln(1+t^{2})$
$f'(t)=\displaystyle\frac{1}{2}*\frac{1}{1+t^{2}}*2t$
$dy=\displaystyle\frac{1}{1+t^{2}}dt$

Questão 12 - José Hudson
Encontre a diferencial  da função

(a) $y= \displaystyle \frac{s}{1+2s}$

Solução: 

$y= \displaystyle \frac {1 \cdot 1+2s-s \cdot 2}{(1+2s)^{2}}=$

$y= \displaystyle \frac {1}{(1+2s)^{2}}$

(b) $y= e^{-u}\cdot \cos {u}$

Solução:

$-e^{-u} \cdot \cos{u} + e^{-u} \cdot (- \mathrm{sen} \, {u})=$

$-e^{-u}(\mathrm{sen} \, {u} + \cos {u})$

Questão 13 - Robson Santos
Encontre a diferencial da função.
(a) $\displaystyle  y = tg \sqrt{t}$
(b)$\displaystyle  y = \frac{1- v^{2}}{1+v^{2}}$

Solução:
(a)
$\displaystyle   y = f(t) = tg\sqrt{t}$

$\displaystyle f'(t) = sec^{2}\sqrt{t}  \cdot\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2}}$

$\displaystyle y = \frac{sec^{2}\sqrt{t}}{2\sqrt{t}}$

$\displaystyle dy = \frac{sec^{2}\sqrt{t}}{2\sqrt{t}} \cdot dt$

(b)
$\displaystyle    y = f(v) = \frac{1 - v^{2}}{1 + v^{2}}$

$\displaystyle  f'(v) = \frac{(1 + v^{2})(-2v)-(1-v^{2})(2v)}{(1 + v^{2})^{2}}$

$\displaystyle  f'(v) = \frac{-2v[(1 + v^{2})+(1-v^{2})]}{(1 + v^{2})^{2}} \therefore \frac{-2v(2)}{(1+v^{2})^{2}} \therefore \frac{-4v}{(1+v^{2})^{2}}$

$\displaystyle  dy = \frac{-4v}{(1+v^{2})^{2}} \cdot dv$

Questão 14 - Jailson Bezerra

Encontre a diferencial da função. $e^{\mathrm{tg} \, {\pi t}}$

Solução:

$\displaystyle \frac{Dy}{Dt} = e^{\mathrm{tg} \, {\pi t}} \cdot \mathrm{sec^{2}} \, {\pi t} \cdot \pi \cdot \displaystyle \frac{Dt}{Dt}$

$\displaystyle \frac{Dy}{Dt} = e^{\mathrm{tg} \, {\pi t}} \cdot \mathrm{sec^2} \, {\pi t} \cdot \pi$

Questão 15 - Valdelice Maia
$y = e ^{\frac{x}{10}}$

(a) Encontre a diferencial $dy$

Solução:

$y=e^{\frac{x}{10}}=dy=$

$e^{\frac{x}{10}} \cdot \frac{1}{10}dx=$ 

$\frac{1}{10}e^{\frac{x}{10}}dx$

(b) Avalie $dy$ para os valores dados de $x$ e $dx$.
Solução:

$x=0$ e $dx=0,1$

$dy=\frac{1}{10}e^{\frac{0}{10}} \cdot (0,1)=$ 

$0,01$

Questão 16 - Robson Santos
$\displaystyle  y = cos \pi x , x = \frac{1}{3} , dx = -0,02$
(a)Encontre a diferencial $dy$
(b)Avalie dy para os valores dados de x e dx.
Solução:
(a)$\displaystyle  dy = -sen\pi \cdot x \cdot \pi dx\therefore -\pi sen\pi xdx$

(b)
$\displaystyle  dy = -\pi sen\frac{\pi }{3}(-0,02)\therefore \pi (\frac{\sqrt{3}}{2})\cdot (0,02)$
$\displaystyle dy = 0,01\pi \sqrt{t}\approx 0,054$




Questão 17 - Alessandra Farias
Solução:



Questão 19 - Guilherme Oliveira
Compute $\Delta y$ e $dy$ para os valores de $x$ e $dx = \Delta x$. A seguir, esboce um diagrama como o da Figura 5, mostrando os segmentos de reta com comprimentos $dx{,}\,dy{,}$ e $\Delta y$.
$y = 2x - x^{2}, \quad x = 2, \quad \Delta x = -0{,}4$
Solução:
$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \qquad dy = f'(x) \cdot dx$
$f(x) = 2x - x^{2} \qquad f'(x) = 2 - 2x$
$f(2) = 2 \cdot 2 - 2^{2} = 4 - 4 = 0 \qquad f'(2) = 2 - 2 \cot 2 = 2 - 4 = -2$
$\Delta y = f(2 + (-0{,}4)) - f(2)$
$\Delta y = f(1{,}6) - 0$
$\Delta y = 2 \cdot (1{,}6) - (1{,}6)^{2}$
$\Delta y = 3{,}2 - 2{,}56 = 0,64$
$dy = f'(2) \cdot dx$
$dy = -2 \cdot (-0{,}4)$
$dy = 0{,}8$

Questão 20 - Marden Torres
Compute $\Delta{y}$ e dy para os valores dados de x e  dx = $\Delta{x}$. A seguir, esboce um diagrama como o da Figura 5, mostrando os segmentos de reta com comprimentos dx, dy e $\Delta{y}$ . 
$$y = \sqrt{x}, x = 1, \Delta{x} = 1$$
Solução:
$y = f (x) = \sqrt{x}, x = 1 , \Delta{x} = 1$
$\Delta{y} = f (2) - f (1) = \sqrt{2} - \sqrt{1} = \sqrt{2} - 1 \approx 0,414$
$dy = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx = \frac{1}{2}(1)=0,5$

Questão 23 - Diana Keli
Use uma aproximação linear (ou diferencial) para estimar o numero dado.

Solução:

$(1,999)^{4}$
$f(x)=x^{4}$
$f'(x)=4x^{3}$

$a=2$
$f(2)=16$
$f'(2)=32$

$L(x)\approx f(2)+f'(2)(x-a)$
$L(x)\approx 16+32(x-2)$
$(1,999)^{4}\approx 16+32(1,999-2)$
$(1,999)^{4}\approx 16-0,032$
$(1,999)^{4}\approx 15,968$

Questão 24 - José Hudson

Use uma aproximação linear (ou diferencial) para estimar o número dado $e^{-0{,}015}$

Solução:

$f(x) \approx f(c) + f'(c) (x + c)$

$c = 0 \quad f(0) = 1 \quad f'(0) = 1 \quad f(x) = e^{x}$

$f(x) \approx 1 + 1 (x - 0)$

$f(x) \approx 1 + x$

$e^{x} = 1 - 0{,}015$

$e^{x} = 0{,}985$

Questão 26 - Marden Torres
Use uma aproximação linear (ou diferencial) para estimar o número dado.
1/4,002

Solução:
$y = f(x) = 1/x$
$dy = -1 /x^{2}dx$ quando $x = 4$  e $dx = 0,002, dy = -\frac{1}{16}(0,002) = -\frac{1}{800}$
$\frac{1}{4,002}\approx f(4) + dy = \frac{1}{4} - \frac{1}{8000} = \frac{1999}{8000} = 0,24987$

Questão 27 - Jailson Bezerra

Solução:

Questão 35 - Alessandra Farias

Solução:

Questão 36 - Aline Cristina
Use as diferenciais  para estimar a quantidade de tinta necessária para aplicar uma camada de $0,05 cm$ de tinta a um domo com diâmetro de $50 m$.

Solução:

Para uma cúpula hemisférica, $V= \frac {2}{3}\pi r^3$

$DV = 2\pi r^2 dr$

Quando

$R = \frac{1}{2}(50) = 25 m$

$DR = 0, 05 cm = 0,005m$

$DV = 2\pi (25)^2 (0,0005) = \frac{5\pi}{8}$

então a quantidade de tinta necessária sobre é, $\frac {5\pi}{8}\approx  2m^3$.

Questão 37 - Thales Fernandes

Solução:

Questão 41 - Valdelice Maia

Estabeleça as seguintes regras para trabalhar com as diferenciais (onde $c$ denota uma constante e $u$ e $v$ são funções de $x$).
(a) $dc = 0$
Solução:
$dc = \frac {dc}{dx} \cdot dx$
$0 \cdot dx = 0$

(b) $d(cu) = c du$
Solução:

$d(cu)=\frac{d}{dx}\cdot (cu)\cdot dx=$
$c\cdot \frac{du}{dx}\cdot dx=$
$cdu$

(c) $d(u+v)=du+dv$

Solução:

$d(u+v)=\frac{d}{dx}(u+v)dx=$
$(\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx})\cdot dx=$
$\frac{du}{dx}\cdot dx=du+dv$

(d) $d(uv)=u dv+ v du$

Solução:

$d(uv)=\frac{d}{dx}(uv)dx=$

$(u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx})dx=$

$u\frac{dv}{dx}dx+v\frac{du}{dx}dx=$ 

$u dv + v du$

(e) $d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{v^{2}}$

Solução:

$d(\frac{u}{v})=$

$\frac{d}{dx}\frac{u}{v}dx=$ $\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^{2}}dx=$

$\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}dx}{v^{2}}=$ $\frac{vdu-udv}{v^{2}}$

(f) $d(x^{n})=nx^{n-1}dx$

Solução:

$d(x^{n})=\frac{d}{dx}(x^{n})dx=$ 

$x^{n-1}dx$