$\delta$ Capítulo 2 - Seção 2.8 - A Derivada como uma Função (pág. 147 a 150)

Questão 04 - José Hudson
Solução:



Questão 07 - Jailson Bezerra
Solução:



Questão 10 - Diana Keli
Trace ou copie o gráfico da função f dada. (Assuma que os eixos possuem escalas iguais.) Use, então, o método do Exemplo 1 para esboçar o gráfico de f' abaixo.

Solução:




Questão 17 - Guilherme Oliveira
Solução:



Questão 22 - Val Maia
Solução:



Questão 24 - Thales Fernandes
Solução:

Questão 25 - Robson Santos

Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.

$\displaystyle f(x)= x^3-3x +5$

Solução:

Pela regra de Suma, a derivada de x³ -3x +5 com respeito a x é :

$\displaystyle f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{d}{dx}[x^3] + \frac{d}{dx}[-3x] +\frac{d}{dx}[5]$

Diferencie usando a regra de potência:

$\displaystyle f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0} 3x^2 + \frac{d}{dx}[-3x] +\frac{d}{dx}[5]$

Avalie  :

$\displaystyle\frac{d}{dx}[-3x]$

$\displaystyle f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0} 3x^2 - 3 +\frac{d}{dx}[5]$

Dado que 5 é constante com respeito a x , a derivada de 5 com respeito a x é 0 .

$\displaystyle  f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0} 3x^2 - 3  + 0$

Solução final:

$\displaystyle   f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0} 3x^2 - 3$ 

O domínio da função e de sua derivada será o conjunto dos reais.

Questão 27 - Alessandra Farias
Solução:



Questão 28 - Jailson Bezerra
Solução:

Questão 29 - Alessandra Farias

Solução:

Questão 30 - Thales Fernandes

Solução:

Questão 31 - José Hudson

Solução:

Questão 33 - Diana Keli

(a) Se $f(x) = x^{4}+2x$ , encontre f'(x).

Solução:

$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0}\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0}\displaystyle\frac{((x+h)^{4} + 2(x+h)) - (x^{4}+2x)}{h}$

$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0}\displaystyle\frac{((x+h)^{3}(x+h) + 2x+2h)) - (x^{4}+2x)}{h}$

$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0}\displaystyle\frac{((x^{3}+3x^{2}*h+3xh^{2}+h^{3})(x+h) + 2x+2h)) - (x^{4}+2x)}{h}$

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\displaystyle\frac{((x^{4}+x^{3}h+3x^{3}h+3x^{2}h^{2}+3x^{2}h^{2}+3xh^{3}+xh^{3}+h^{4}+2x+2h)) - (x^{4}+2x)}{h}$

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\displaystyle\frac{((x^{4}+4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4xh^{3}+h^{4}+2x+2h-x^{4}-2x))}{h}$

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\displaystyle\frac{((4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4xh^{3}+h^{4}+h^{4}+2h))}{h}$

$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0}\displaystyle\frac{(h(4x^{3}+6x^{2}h+4xh^{2}+h^{3}+2))}{h}$

Considerando h=0 temos:

$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} 4x^{3}+2$

Questão 35 - Robson Santos

A taxa de desemprego U(t) varia com o tempo. A tabela fornece a porcentagem de desempregados na força de trabalho australiana em meados de 1995 a 2004.

(a) Qual o significado de U'(t)? Quais são suas unidades?

(b)Construa uma tabela de valores para U'(t).

Solução:

A_

U'(t) é a taxa em que a taxa de desemprego está mudando em relação ao tempo. Suas unidades são por cento ao ano.

B_

Para encontrar U'(t) use :

$\displaystyle  f'(t)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{U(t+h)-U(t)}{h} \approxeq  \frac{U(t+h)-U(t)}{h}$

Para valores pequenos de h.

Para 1999:

$\displaystyle  U'(1999)  \approxeq  \frac{U(2000)- U(1999)}{2000-1999} = \frac {4.0-4.2} {1} = -0.2$

Para 2000:

Estima-se que U'(2000) usando h = -1 e h = 1 para obter a média dos 2 resultados pra obter uma estimativa final.

$\displaystyle h = -1 \rightarrow U'(2000)  \approxeq  \frac{U(1999)- U(2000)}{1999-2000} = \frac {4.0-4.2} {1} = -0.2$

$\displaystyle h = 1 \rightarrow U'(2000)  \approxeq  \frac{U(2001)- U(2000)}{2001-2000} = \frac {4.7-4.0} {1} = -0.7$

Então estimamos que :

$\displaystyle U'(2000)  \approxeq  \frac{1}{2} =[(-0.2)+ 0.7]= 0.25$

Questão 36 - Aline Cristina

Solução:

Questão 38 - Marden Torres 

O gráfico de f é dado. Indique os números nos quais f não é diferenciável.

Solução: f não é diferenciável em x = 0, porque há uma descontinuidade lá, e em x = 3, porque o gráfico tem uma tangente vertical lá.



Questão 40 - Val Maia
Solução:



Questão 43 - Guilherme Oliveira
Solução:



Questão 44 - Antônio Wagner
A figura mostra os gráficos de f, f', f'' e f'''. Identifique cada curva e explique suas escolhas.

Solução:
Onde d tem tangentes horizontais só c é 0, então d'=c. c tem tangentes negativas para x<0 e b é o único negativo para x<0, então c'=b. b tem tangentes positivas em R, menos quando x=0, e o único gráfico que é positivo no mesmo domínio é a, então b'=a. Concluo que d=f; c=f'; b=f" e a=f"'.



Questão 46 - Antônio Wagner
A figura mostra os gráficos de quatro funções. Uma é a função da posição de um carro, outra é a velocidade do carro, outra é sua aceleração e outra é seu jerk. Identifique cada curva e explique suas escolhas.

Solução:
a deve ser o jerk desde que nenhum dos gráficos sejam 0 em seus pontos altos e baixos. a é 0 quando b é máximo, então b' = a. B é 0 quando c é máximo, então c' = b. Conclusão d é a posição, c a velocidade, b aceleração e a é o Jerk.




Questão 50 - Marden Torres

 a) É mostrado o gráfico da função posição de um veículo, onde s é medido em metros e t, em     segundos. Use-o para traçar a velocidade e a aceleração do veículo. Qual é a aceleração em t =10 segundos?

(b) Use a curva da aceleração da parte (a) para estimar o $jerk$ em $t = 10$ segundos. Qual a unidade do $jerk?$

Solução:

a) Uma vez que estimamos que a velocidade é máxima em $t = 10$, a aceleração é 0 em $t = 10$.

b) Desencadeando uma linha tangente em t = 10 no gráfico de a, a parece diminuir em $10 ft / s^{2}$ durante um período de 20 s.

Assim, em $t = 10 s$, o  jerk é aproximadamente $-10/20 = -0,5$  $(ft / s^{2}) / s$  ou $ft / s^{3}$.