$\int$ Capítulo 6 - Seção 6.2 - Volumes (389)

Questões 1 - 18. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.

Questão 01 - Robson Santos
$y=2-\dfrac{1}{2}x,\,y=0,x=1,x=2;$    em torno do eixo x.

Solução:
$A(x) = \pi \left(2 - \dfrac{1}{2}x \right)^{2} \\ \displaystyle V = \int_{1}^{2} A(x)\, dx = \int_{1}^{2} \pi \left(2 - \frac{1}{2}x \right)^{2}\, dx = \pi \int_{1}^{2} \left(4 - 2x + \frac{1}{4}x^{2} \right)\, dx \\ V = \pi \left[4x - x^{2} + \dfrac{1}{12}x^{3} \right]_{1}^{2} \\V = \pi \left[\left(8 - 4 + \dfrac{8}{12} \right) - \left(4 - 1 + \dfrac{1}{12} \right) \right] \\ V = \pi \left(1 + \dfrac{7}{12} \right) = \dfrac{19}{12} \pi$.

Questão 08 - Guilherme Fernandes
$y = \dfrac{1}{4}x^{2},\, y = 5 - x^{2}$;   em torno do eixo $x$.

Solução:

Questão 10 - Marden Torres

$y = \frac{1}{4}x^{2}, x = 2, y = 0$; em torno do eixo y 


Solução:

$A(y)=\pi\Big[(2)^{3} - ( 2 \sqrt{y})^{2}\Big]$

$= \pi(4 - 4y) = 4\pi(1 - y)$

$V = \int_{0}^{1}A(y)dy=\int_{0}^{1}4\pi(1 - y)dy$

$=4\pi\big[y - \frac{1}{2}y^{2}\big]_{0}^{1}=4\pi\big[(1 - \frac{1}{2}) - 0\big] = 2\pi$

Questão 16 - José Hudson da Silva

$y = x,  y = \sqrt{x},$ em torno de $x = 2$

Solução :
$0\leq y < \frac{1}{2}$; r $= 2$ R $= 3$
$A(y) = \pi(3^{2} - 2^{2}) = 5\pi$

$\frac{1}{2} \leq y \leq 1$; r $= 2$ R $= \frac{1}{y} + 1$

$A(y) = \pi[(\frac{1}{y} + 1)^{2} - 2^{2}] = \pi(\frac{1}{y^{2}} + \frac{2}{y} + 1-4)$


$V =\displaystyle \int_{1}^{\frac{1}{2}}5\pi d{y}+\int_{\frac{1}{2}}^{1}\pi\left(\frac{1}{y^{2}}+\frac{2}{y} - 3\right)d{y}$
 $\displaystyle = 5\pi[y]_{0}^{\frac{1}{2}} + \pi \left[-\frac{1}{y}+2\ln{y} - 3{y}\right]_{\frac{1}{2}}^{1}$
 $\displaystyle = 5\pi(\frac{1}{2} -0)+ \pi[(-1+0-3)- (-2+2\ln{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2})]$


 $\displaystyle = \frac{5}{2}\pi + \pi(-\frac{1}{2}+2\ln{2}) = (2+2\ln{2}) \pi =  2\pi(1+\ln{2})$


Questão 18 - Diana Keli
$y=x,y=0,x=2,x=4;$ em torno de x=1;

Solução:
$\displaystyle V = \int_{0}^{4}A(y)dy$

$=\displaystyle \pi\int_{0}^{2}[(4-1)^{2}-(2-1)^{2}]dy+\pi\int_{2}^{4}[(4-1)^{2}-(y-1)^{2}]dy$

$=\displaystyle \pi\left | 8y \right |_{0}^{2}+\pi\int_{2}^{4}(8+2y-y^{2})dy$

$=\displaystyle 16\pi+\pi\left | 8y+y^{2}-\frac{1}{3}y^{3} \right |_{2}^{4}$

$=\displaystyle 16\pi+\pi\left [ \left (32+16-\frac{64}{3} \right )-\left (16+4-\frac{8}{3} \right ) \right ]$

$=\displaystyle \frac{76}{3}\pi$