$\int$ Revisão Cálculo I - Cápitulo 3 - Seção 3.4 (185)
Questões 07 - 46. Encontre a derivada da função.
Questão 07 - José Hudson
$f(x)=(x^{4}+3x^{2}-2)^{5}$
Solução:
$f(x)=(x^{4}+3x^{2}-2)^{5}$
$f'(x)=5(x^{4}+3x^{2}-2)^{4}\cdot(4x^{3}+6x)$
$f'(x)=5(x^{4}+3x^{2}-2)^{4})\cdot 2x(2x^{2}+3)$
$f'(x)=10x(x^{4}+3x^{2}-2)^{4}\cdot(2x+3)$
Questão 08 - Antônio Wagner
$f(x)=(4x-x^2)^{100}$
Solução:
$f'(x)=100(4x-x^2)^{99} \cdot \frac{d}{dx}(4x-x^2)$
$f'(x)=100(4x-x^2)^{99} (4-2x)$
Questão 09 - Lilia Cristina
Solução:
Questão 10 - Magno Braga
$f(x)=(1+x^4)^{\frac{2}{3}}$
Solução:
$f'(x)=\frac{2}{3}(1+x^4)^{\frac{2}{3}-1}(4x^3)$
$f'(x)=\frac{8x^3(1+x)^{\frac{-1}{3}}}{3}$
Questão 11 - Magno Braga
$g(t)=\frac{1}{(t^4+1)^3}$
Solução:
$g(t)=(t^4+1)^{-3}$
$g'(t)=-3(t^4+1)^{-3-1}.(4t^3)$
$g'(t)=-12t^3(t^4+1)^{-4}$
$g'(t)=\frac{-12t^3}{(t^4+1)^4}$
Questão 12 - Pedro Soares
Solução:
Questão 13 - Jeovane Carneiro
$y=cos(a^{3}+x^{3})$.
Solução:
$y'=-sin(a^{3}+x^{3})*3x^{2}=-3x^{2}sin(a^{3}+x^{3})$
Questão 14 - Robson Santos
$ \\ y = a^{3} +cos ^3x$
Solução:
$ \\y = 3(cosx)^{2}\cdot(-sen x) \\ y'= -3senx\cdot cos^{2}x$
Questão 15 - Jeovane Carneiro
$y=xe^{-kx}$.
Solução:
$ y'=x[e^{-kx}(-k)+e^{-kx}*1=e^{-kx}(-kx+1)$
Questão 16 - Pedro Soares
Solução:
Questão 17 - Magno Braga
$f(x)=(2x-3)^4(x^2+x+1)^5$
Solução:
$f'(x)=(2x-3)^4.5(x^2+x+1)^4.(2x+1)+4(2x-3)^3.2$
Questão 18 - Lilia Cristina
Solução:
Questão 19 - Robson Santos
$ \\h(t)= (t+1)^{\frac{2}{3}}\cdot(2t^{2}-1)^{3}$
Solução:
$ \\h(t)= (t+1)^{\frac{2}{3}}\cdot(2t^{2}-1)^{3} \\ h'(t)=(t+1)^{\frac{2}{3}}\cdot3(2t^{2}-1)\cdot4t+(2t^{2}-1)^{3}\cdot\frac{2}{3}(t+1)^{\frac{-1}{3}}\\ h'(t= \frac{2}{3}(t+1)^{\frac{-1}{3}}\cdot(2t^{2}-1)^{2}[18t(t+1)+(2t^{2})-1]\\ h'(t)= \frac{2}{3}(t+1)^{\frac{-1}{3}}\cdot(2t^{2}-1)^{2}\cdot(20t^{2}+185-1)$
Questão 20 - Guilherme Oliveira
$F(t) = (3t - 1)^{4} \, (2t + 1)^{-3}$.
Solução:
$F'(t) = [(4 \, (3t - 1)^{3} \, 3)] \cdot (2t + 1)^{-3} + (3t - 1)^{4} \cdot [-3 \, (2t + 1)^{-4} \, 2] \\ F'(t) = [12(3t - 1)^{3}] \cdot (2t + 1)^{-3} + (3t - 1)^{4} \cdot [-6(2t + 1)^{-4}] \\ \displaystyle F'(t) = 12(3t - 1)^{3} \cdot \frac{1}{(2t + 1)^{3}} + (3t - 1)^{4} \cdot \Bigg[- \frac{6}{(2t + 1)^{4}} \Bigg] \\ \displaystyle F'(t) = \frac{12(3t - 1)^{3}}{(2t + 1)^{3}} - \frac{6(3t - 1)^{4}}{(2t + 1)^{4}}$
Questão 21 - Diana Keli
$y=\displaystyle\left ( \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1} \right )^{3}$
Solução:
$y=\displaystyle\left ( \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1} \right )^{3}$
$y'=3\displaystyle \cdot \left ( \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1} \right )^{2}\cdot \frac{d}{dx}\left ( \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1} \right )$
$y'=3 \displaystyle\cdot \left ( \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1} \right )^{2}\cdot \displaystyle\frac{(x^{2}-1)(2x)-(x^{2}+1)(2x)}{(x^{2}-1)^{2}}$
$y'=3 \displaystyle\cdot \left ( \displaystyle\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1} \right )^{2}\cdot \frac{2x[x^{2}-1-(x^{2}+1)]}{(x^{2}-1)^{2}}$
$y'=3 \displaystyle\cdot \left ( \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1} \right )^{2}\cdot \frac{2x(-2)}{(x^{2}-1)^{2}}$
$y'=\displaystyle\frac{-12x(x^{2}+1)^{2}}{(x^{2}-1)^{4}}$
Questão 22 - Jailson Bezerra
$ f(s) = \sqrt {\dfrac{s^2 + 1}{s^2 + 4}} $
Solução:
$ f(s) = \left (\dfrac {s^2 + 1}{s^2 + 4} \right )^\frac {1}{2} $
$ f'(s) = \dfrac {1}{2} \left (\dfrac {s^2 + 1}{s^2 + 4} \right )^\frac{-1}{2} \cdot \left (\dfrac {2s(s^2 + 4) - [(s^2 + 1) 2s]}{(s^2 + 4)^2} \right ) $
$ = \dfrac {1}{2} \left (\dfrac {s^2 + 1}{s^2 + 4} \right )^\frac {-1}{2} \cdot \left (\dfrac {2s(s^2 + 4 - s^2 - 1)}{(s^2 + 4)^2} \right ) $
$ = \dfrac {(s^2 + 1)^\frac {-1}{2})}{2(s^2 +4)^\frac {-1}{2})} \cdot \dfrac {6s}{(s^2 + 4)^2} $
$ = \dfrac{(s^{2} +1)^{- \frac{1}{2}} \cdot 3s }{(s^{2} + 4)^{\frac{2}{1} - \frac{1}{2}}} = \dfrac{3s}{(s^2 + 1)^\frac {1}{2} \cdot (s^2 + 4)^\frac{3}{2}} $
$ = \dfrac{3s}{\sqrt{s^2 + 1} \ \cdot \sqrt{(s^2 + 4)^3}} $
Questão 23 - Matheus Matias
Solução:
Questão 24 - Guilherme Fernandes
$y = 10^{1 - x^{2}}$.
Solução:
$y' = (1 - x^{2}) \cdot 10^{(1 - x^{2}) - 1} \cdot 2x \\ y' = (1 - x^{2}) \cdot 10^{x^{2} - 1} \cdot 2x \\ y' = (2x - 2x^{3}) \cdot 10^{x^{2} - 1}$
Questão 25 - Robson Santos
$ \\y = 5^{\frac{-1}{x}} $
Solução:
$ \\y = 5^{\frac{-1}{x}} \\ y'= 5^{\frac{-1}{x}}(ln 5)[-1\cdot(-x^{2})]\\ y'= \frac{5^{\frac{-1}{x}}(ln 5)}{x^{2}}$
Questão 26 - Marden Torres
$G(y) =\frac{(y - 1 )^{4}}{(y^{2} + 2)^{5}}$
Solução:
$G(y) = \displaystyle\frac{(y -1)^{4}}{(y^{2} + 2)^{5}}$
$G'(y) = \displaystyle\frac{(y^{2} + 2y)^{5} \cdot 4 (y - 1)^{3} \cdot 1 - (y - 1)^{4} \cdot 5(y^{2} + 2y)^{4}(2y + 2)}{[(y^{2} + 2y)^{5}]^{2}}$
$=\displaystyle\frac{2(y^{2} + 2y)^{4}(y - 1)^{3} [2(y^{2} + 2y) - 5(y - 1)( y + 1)]}{(y^{2} + 2y)^{10}}$
$=\displaystyle\frac{2(y - 1)^{3} [(2y^{2} + 4y) + (-5y^{2} + 5)]}{(y^{2} + 2y)^{6}}$
$=\displaystyle\frac{2(y -1)^{3}(-3y^{2} + 4y + 5)}{(y^{2} + 2y)^{6}}$
Questão 27 - Diana Keli
$y=\displaystyle\frac{r}{\sqrt{r^{2}+1}}$
Solução:
$y=\displaystyle\frac{r}{\sqrt{r^{2}+1}}$
$y'=\displaystyle\frac{\sqrt{r^{2}+1}\cdot (1)-r\cdot \frac{1}{2}(r^{2}+1)^{-\frac{1}{2}}\cdot (2r)}{(\sqrt{r^{2}+1})^{2}}$
$y'=\displaystyle\frac{\sqrt{r^{2}+1}-\frac{r^{2}}{\sqrt{r^{2}+1}}}{(\sqrt{r^{2}+1})^{2}}$
$y'=\displaystyle\frac{\frac{\sqrt{r^{2}+1}\cdot \sqrt{r^{2}+1}-r^{2}}{\sqrt{r^{2}+1}}}{(\sqrt{r^{2}+1})^{2}}$
$y'=\displaystyle\frac{(r^{2}+1)-r^{2}}{(\sqrt{r^{2}+1})^{2}}$
$y'=\displaystyle\frac{1}{(r^{2}+1)^{\frac{3}{2}}}$
Questão 28 - Antônio Wagner
$y=\displaystyle\frac{e^u-e^{-u}}{e^u+e^{-u}}$
Solução:
$y'=\displaystyle\frac{(e^u+e^{-u})(e^u-(-e^{-u}))-(e^u-e^{-u})(e^u+(-e^{-u}))}{(e^u+e^{-u})^2}$
$y'=\displaystyle\frac{e^{2u}+e^0+e^0+e^{-2u}-(e^{2u}-e^0-e^0+e^{-2u})}{(e^u+e^{-u})^2}$
$y'=\displaystyle\frac{4e^0}{(e^u+e^{-4})^2}$
$y'=\displaystyle\frac{4}{(e^u+e^{-u})^2}$
Questão 29 - Matheus Matias
Solução:
Questão 30 - Átila Santos
Solução:
Questão 31 - Lilia Carneiro
Solução:
Questão 32 - José Hudson
$x=Sec^{2}(m\theta)$
Solução:
$x=Sec^{2}(m\theta)$
$x'=[Sec(m\theta)]^{2}$
$x'=2[Sec(m\theta)]^{1}\cdot Sec(m\theta)\cdot tg(m\theta)\cdot m $
$x'= 2m\cdot Sec^{2}(m\theta)\cdot tg(m\theta)$
Questão 33 - Antônio Wagner
$y=\displaystyle 2^{sen \pi x}$
Solução:
$y'=\displaystyle 2^{sen \pi x}(ln2)\cdot \frac{d}{dx}(sen \pi x)$
$y'=\displaystyle 2^{sen \pi x}(ln2)\cdot cos \pi x \cdot \pi$
$y'=\displaystyle 2^{sen \pi x}(\pi ln 2)cos \pi x$
Questão 34 - Marden Torres
$y = x^{2}e^{-1/x}$
Solução:
$y = x^{2}e^{-1/x}$
$y' = x^{2}e^{-1/x}{\Bigg(\frac{1}{x^{2}}\Bigg)} + e^{-1/x}(2x) = e^{-1/x} + 2xe^{-1/x} = e^{-1/x}(1 + 2x)$
Questão 35 - Guilherme Fernandes
$\displaystyle y = \cos{\Bigg(\frac{1 - e^{2x}}{1 + e^{2x}} \Bigg)}$.
Solução:
$\displaystyle y' = - \mathrm{sen}\,{\Bigg(\frac{1 - e^{2x}}{1 + e^{2x}} \Bigg)} \cdot \frac{(-2e^{2x})(1 + e^{2x}) - (1 - e^{2x}) \cdot 2e^{2x}}{(1 + e^{2x})^{2}} \\ \displaystyle y' = - \mathrm{sen}\,{\Bigg(\frac{1 - e^{2x}}{1 + e^{2x}} \Bigg)} \cdot \frac{-2e^{2x}[(1 + e^{2x}) + (1 - e^{2x})]}{(1 + e^{2x})^{2}} \\ \displaystyle y' = - \mathrm{sen}\,{\Bigg(\frac{1 - e^{2x}}{1 + e^{2x}} \Bigg)} \cdot \frac{-2e^{2x} \cdot 2}{(1 + e^{2x})^{2}} \\ \displaystyle y' = \mathrm{sen}\,{\Bigg(\frac{1 - e^{2x}}{1 + e^{2x}} \Bigg)} \cdot \frac{4e^{2x}}{(1 + e^{2x})^{2}}$
Questão 36 - Jeovane Carneiro
$y=\sqrt{1+xe^{-2x} } $.
Solução:
$y'=\frac{1}{2} (1+xe^{-2x})^{\frac{-1}{2} }[x(-2e^{-2x})+e^{-2x}]=\frac{e^{-2x}(-2x+1 }{2\sqrt{1+xe^{-2x} } } $
Questão 37 - Jailson Bezerra
$ y = \cot^2 (\sin \theta) = [\cot \ (\sin \theta)]^2 = \left [ \frac{\cos \ (\sin \theta)}{\sin \ (\sin \theta)} \right ]^2 $
$ tome, u = \sin \theta; \ u' = \cos \theta $
$ y = \left [ \frac{\cos \ (u)}{\sin \ (u)} \right ]^2 $
Solução:
$ y' = 2 \left [ \dfrac{\cos \ (u)}{\sin \ (u)} \right ] \cdot \dfrac{- \sin (u) \cdot u' \cdot \sin (u) -[\cos (u) \cdot \cos (u) \cdot u']}{\sin^2 (u)} $
$ y' = 2 \left [ \dfrac{\cos \ (u)}{\sin \ (u)} \right ] \cdot \dfrac{- u' \cdot \sin^2 (u) - u' \cos^2 (u)}{\sin^2 (u)} $
$ y' = 2 \left [ \dfrac{\cos \ (u)}{\sin \ (u)} \right ] \cdot \dfrac{- u' \cdot (\sin^2 (u) + \cos^2 (u))}{\sin^2 (u)} $
$ y' = -2 \left [ \dfrac{\cos \ (u)}{\sin \ (u)} \right ] \cdot \dfrac{u' }{\sin^2 (u)} = -2 \cdot \cot (u) \cdot u' \cdot \csc^2 (u) $
$ y' = -2 \cdot \cot (\sin \theta) \cdot \cos \theta \cdot \csc^2 (\sin \theta) $
Questã0 38 - Pedro Soares
Solução:
Questão 39 - Átila Santos
Solução:
Questão 40 - José Hudson
$y=\mathrm{sen}(\mathrm{sen}(\mathrm{sen}\,{x}))$
Solução:
$y'=\cos(\mathrm{sen}(\mathrm{sen}\,{x}))\cdot \cos(\mathrm{sen}\,{x})\cdot \cos{x}$
Questão 41 - Jailson Bezerra
$ f(t) = \sin^{2} (e^{\sin^2 t}) = \left [\sin (e^{\sin^2 t}) \right ]^2 $
$ tome, \ u = \sin t \ e \ u' = \cos t $
$ f(t) = \left [\sin (e^{u^2}) \right ]^2 $
Solução:
$ f'(t) = 2 \left [\sin \ (e^{u^2}) \right ] \cdot \cos \ (e^{u^2}) \cdot 2u \cdot u' \cdot e^{u^2} $
$ f'(t) = 4 \left [\sin \ (e^{u^2}) \right ] \cdot \cos \ (e^{u^2}) \cdot u \cdot u' \cdot e^{u^2} $
$ f'(t) = 4 \left [\sin \ (e^{\sin^2 t}) \right ] \cdot \cos \ (e^{\sin^2 t}) \cdot \sin t \cdot \cos t \cdot e^{\sin^2 t} $
Questão 42 - Marden Torres
$y = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}$
Solução:
$y = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}$
$y' = \frac{1}{2}(x + \sqrt{x + \sqrt{x}})^{-1/2}$${\Bigg[1 + \frac{1}{2}(x + \sqrt{x})^{-1/2}(1 + \frac{1}{2}x^{-1/2})\Bigg]}$
Questão 43 - Átila Santos
Solução:
Questão 44 - Matheus Matias
Solução:
Questão 45 - Diana Keli
$y=\cos \sqrt{\sin (\tan \pi x)}$
Solução:
$y=\cos (\sin (\tan \pi x))^{\frac{1}{2}}$
$y'=-\sin (\sin (\tan\pi x))^{\frac{1}{2}}\cdot \displaystyle\frac{d}{dx}(\sin(\tan \pi x))^{\frac{1}{2}}$
$y'=-\sin (\sin (\tan\pi x))^{\frac{1}{2}}\cdot \displaystyle\frac{1}{2}(\sin(\tan \pi x))^{-\frac{1}{2}}\cdot \displaystyle\frac{d}{dx}(\sin(\tan\pi x))$
$y'=\displaystyle\frac{-\sin\sqrt{\sin(\tan\pi x)}}{2\sqrt{\sin(\tan\pi x)}}\cdot \cos(\tan\pi x)\cdot \frac{d}{dx} \tan \pi x$
$y'=\displaystyle\frac{-\sin\sqrt{\sin(\tan\pi x)}}{2\sqrt{\sin(\tan\pi x)}}\cdot \cos(\tan\pi x)\cdot \sec^{2}(\pi x)\cdot \pi$
$y'=\displaystyle\frac{-\pi cos(\tan\pi x)\cdot \sec^{2}(\pi x)\cdot \sin \sqrt{\sin(\tan\pi x)}}{2\sqrt{\sin (\tan \pi x)}}$
Questão 07 - José Hudson
$f(x)=(x^{4}+3x^{2}-2)^{5}$
Solução:
$f(x)=(x^{4}+3x^{2}-2)^{5}$
$f'(x)=5(x^{4}+3x^{2}-2)^{4}\cdot(4x^{3}+6x)$
$f'(x)=5(x^{4}+3x^{2}-2)^{4})\cdot 2x(2x^{2}+3)$
$f'(x)=10x(x^{4}+3x^{2}-2)^{4}\cdot(2x+3)$
Questão 08 - Antônio Wagner
$f(x)=(4x-x^2)^{100}$
Solução:
$f'(x)=100(4x-x^2)^{99} \cdot \frac{d}{dx}(4x-x^2)$
$f'(x)=100(4x-x^2)^{99} (4-2x)$
Questão 09 - Lilia Cristina
Solução:
Questão 10 - Magno Braga
$f(x)=(1+x^4)^{\frac{2}{3}}$
Solução:
$f'(x)=\frac{2}{3}(1+x^4)^{\frac{2}{3}-1}(4x^3)$
$f'(x)=\frac{8x^3(1+x)^{\frac{-1}{3}}}{3}$
Questão 11 - Magno Braga
$g(t)=\frac{1}{(t^4+1)^3}$
Solução:
$g(t)=(t^4+1)^{-3}$
$g'(t)=-3(t^4+1)^{-3-1}.(4t^3)$
$g'(t)=-12t^3(t^4+1)^{-4}$
$g'(t)=\frac{-12t^3}{(t^4+1)^4}$
Questão 12 - Pedro Soares
Solução:
Questão 13 - Jeovane Carneiro
$y=cos(a^{3}+x^{3})$.
Solução:
$y'=-sin(a^{3}+x^{3})*3x^{2}=-3x^{2}sin(a^{3}+x^{3})$
Questão 14 - Robson Santos
$ \\ y = a^{3} +cos ^3x$
Solução:
$ \\y = 3(cosx)^{2}\cdot(-sen x) \\ y'= -3senx\cdot cos^{2}x$
Questão 15 - Jeovane Carneiro
$y=xe^{-kx}$.
Solução:
$ y'=x[e^{-kx}(-k)+e^{-kx}*1=e^{-kx}(-kx+1)$
Questão 16 - Pedro Soares
Solução:
Questão 17 - Magno Braga
$f(x)=(2x-3)^4(x^2+x+1)^5$
Solução:
$f'(x)=(2x-3)^4.5(x^2+x+1)^4.(2x+1)+4(2x-3)^3.2$
Questão 18 - Lilia Cristina
Solução:
Questão 19 - Robson Santos
$ \\h(t)= (t+1)^{\frac{2}{3}}\cdot(2t^{2}-1)^{3}$
Solução:
$ \\h(t)= (t+1)^{\frac{2}{3}}\cdot(2t^{2}-1)^{3} \\ h'(t)=(t+1)^{\frac{2}{3}}\cdot3(2t^{2}-1)\cdot4t+(2t^{2}-1)^{3}\cdot\frac{2}{3}(t+1)^{\frac{-1}{3}}\\ h'(t= \frac{2}{3}(t+1)^{\frac{-1}{3}}\cdot(2t^{2}-1)^{2}[18t(t+1)+(2t^{2})-1]\\ h'(t)= \frac{2}{3}(t+1)^{\frac{-1}{3}}\cdot(2t^{2}-1)^{2}\cdot(20t^{2}+185-1)$
Questão 20 - Guilherme Oliveira
$F(t) = (3t - 1)^{4} \, (2t + 1)^{-3}$.
Solução:
$F'(t) = [(4 \, (3t - 1)^{3} \, 3)] \cdot (2t + 1)^{-3} + (3t - 1)^{4} \cdot [-3 \, (2t + 1)^{-4} \, 2] \\ F'(t) = [12(3t - 1)^{3}] \cdot (2t + 1)^{-3} + (3t - 1)^{4} \cdot [-6(2t + 1)^{-4}] \\ \displaystyle F'(t) = 12(3t - 1)^{3} \cdot \frac{1}{(2t + 1)^{3}} + (3t - 1)^{4} \cdot \Bigg[- \frac{6}{(2t + 1)^{4}} \Bigg] \\ \displaystyle F'(t) = \frac{12(3t - 1)^{3}}{(2t + 1)^{3}} - \frac{6(3t - 1)^{4}}{(2t + 1)^{4}}$
Questão 21 - Diana Keli
$y=\displaystyle\left ( \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1} \right )^{3}$
Solução:
$y=\displaystyle\left ( \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1} \right )^{3}$
$y'=3\displaystyle \cdot \left ( \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1} \right )^{2}\cdot \frac{d}{dx}\left ( \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1} \right )$
$y'=3 \displaystyle\cdot \left ( \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1} \right )^{2}\cdot \displaystyle\frac{(x^{2}-1)(2x)-(x^{2}+1)(2x)}{(x^{2}-1)^{2}}$
$y'=3 \displaystyle\cdot \left ( \displaystyle\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1} \right )^{2}\cdot \frac{2x[x^{2}-1-(x^{2}+1)]}{(x^{2}-1)^{2}}$
$y'=3 \displaystyle\cdot \left ( \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1} \right )^{2}\cdot \frac{2x(-2)}{(x^{2}-1)^{2}}$
$y'=\displaystyle\frac{-12x(x^{2}+1)^{2}}{(x^{2}-1)^{4}}$
Questão 22 - Jailson Bezerra
$ f(s) = \sqrt {\dfrac{s^2 + 1}{s^2 + 4}} $
Solução:
$ f(s) = \left (\dfrac {s^2 + 1}{s^2 + 4} \right )^\frac {1}{2} $
$ f'(s) = \dfrac {1}{2} \left (\dfrac {s^2 + 1}{s^2 + 4} \right )^\frac{-1}{2} \cdot \left (\dfrac {2s(s^2 + 4) - [(s^2 + 1) 2s]}{(s^2 + 4)^2} \right ) $
$ = \dfrac {1}{2} \left (\dfrac {s^2 + 1}{s^2 + 4} \right )^\frac {-1}{2} \cdot \left (\dfrac {2s(s^2 + 4 - s^2 - 1)}{(s^2 + 4)^2} \right ) $
$ = \dfrac {(s^2 + 1)^\frac {-1}{2})}{2(s^2 +4)^\frac {-1}{2})} \cdot \dfrac {6s}{(s^2 + 4)^2} $
$ = \dfrac{(s^{2} +1)^{- \frac{1}{2}} \cdot 3s }{(s^{2} + 4)^{\frac{2}{1} - \frac{1}{2}}} = \dfrac{3s}{(s^2 + 1)^\frac {1}{2} \cdot (s^2 + 4)^\frac{3}{2}} $
$ = \dfrac{3s}{\sqrt{s^2 + 1} \ \cdot \sqrt{(s^2 + 4)^3}} $
Questão 23 - Matheus Matias
Solução:
Questão 24 - Guilherme Fernandes
$y = 10^{1 - x^{2}}$.
Solução:
$y' = (1 - x^{2}) \cdot 10^{(1 - x^{2}) - 1} \cdot 2x \\ y' = (1 - x^{2}) \cdot 10^{x^{2} - 1} \cdot 2x \\ y' = (2x - 2x^{3}) \cdot 10^{x^{2} - 1}$
Questão 25 - Robson Santos
$ \\y = 5^{\frac{-1}{x}} $
Solução:
$ \\y = 5^{\frac{-1}{x}} \\ y'= 5^{\frac{-1}{x}}(ln 5)[-1\cdot(-x^{2})]\\ y'= \frac{5^{\frac{-1}{x}}(ln 5)}{x^{2}}$
Questão 26 - Marden Torres
$G(y) =\frac{(y - 1 )^{4}}{(y^{2} + 2)^{5}}$
Solução:
$G(y) = \displaystyle\frac{(y -1)^{4}}{(y^{2} + 2)^{5}}$
$G'(y) = \displaystyle\frac{(y^{2} + 2y)^{5} \cdot 4 (y - 1)^{3} \cdot 1 - (y - 1)^{4} \cdot 5(y^{2} + 2y)^{4}(2y + 2)}{[(y^{2} + 2y)^{5}]^{2}}$
$=\displaystyle\frac{2(y^{2} + 2y)^{4}(y - 1)^{3} [2(y^{2} + 2y) - 5(y - 1)( y + 1)]}{(y^{2} + 2y)^{10}}$
$=\displaystyle\frac{2(y - 1)^{3} [(2y^{2} + 4y) + (-5y^{2} + 5)]}{(y^{2} + 2y)^{6}}$
$=\displaystyle\frac{2(y -1)^{3}(-3y^{2} + 4y + 5)}{(y^{2} + 2y)^{6}}$
Questão 27 - Diana Keli
$y=\displaystyle\frac{r}{\sqrt{r^{2}+1}}$
Solução:
$y=\displaystyle\frac{r}{\sqrt{r^{2}+1}}$
$y'=\displaystyle\frac{\sqrt{r^{2}+1}\cdot (1)-r\cdot \frac{1}{2}(r^{2}+1)^{-\frac{1}{2}}\cdot (2r)}{(\sqrt{r^{2}+1})^{2}}$
$y'=\displaystyle\frac{\sqrt{r^{2}+1}-\frac{r^{2}}{\sqrt{r^{2}+1}}}{(\sqrt{r^{2}+1})^{2}}$
$y'=\displaystyle\frac{\frac{\sqrt{r^{2}+1}\cdot \sqrt{r^{2}+1}-r^{2}}{\sqrt{r^{2}+1}}}{(\sqrt{r^{2}+1})^{2}}$
$y'=\displaystyle\frac{(r^{2}+1)-r^{2}}{(\sqrt{r^{2}+1})^{2}}$
$y'=\displaystyle\frac{1}{(r^{2}+1)^{\frac{3}{2}}}$
Questão 28 - Antônio Wagner
$y=\displaystyle\frac{e^u-e^{-u}}{e^u+e^{-u}}$
Solução:
$y'=\displaystyle\frac{(e^u+e^{-u})(e^u-(-e^{-u}))-(e^u-e^{-u})(e^u+(-e^{-u}))}{(e^u+e^{-u})^2}$
$y'=\displaystyle\frac{e^{2u}+e^0+e^0+e^{-2u}-(e^{2u}-e^0-e^0+e^{-2u})}{(e^u+e^{-u})^2}$
$y'=\displaystyle\frac{4e^0}{(e^u+e^{-4})^2}$
$y'=\displaystyle\frac{4}{(e^u+e^{-u})^2}$
Questão 29 - Matheus Matias
Solução:
Questão 30 - Átila Santos
Solução:
Questão 31 - Lilia Carneiro
Solução:
Questão 32 - José Hudson
$x=Sec^{2}(m\theta)$
$x=Sec^{2}(m\theta)$
$x'=[Sec(m\theta)]^{2}$
$x'=2[Sec(m\theta)]^{1}\cdot Sec(m\theta)\cdot tg(m\theta)\cdot m $
$x'= 2m\cdot Sec^{2}(m\theta)\cdot tg(m\theta)$
Questão 33 - Antônio Wagner
$y=\displaystyle 2^{sen \pi x}$
Solução:
$y'=\displaystyle 2^{sen \pi x}(ln2)\cdot \frac{d}{dx}(sen \pi x)$
$y'=\displaystyle 2^{sen \pi x}(ln2)\cdot cos \pi x \cdot \pi$
$y'=\displaystyle 2^{sen \pi x}(\pi ln 2)cos \pi x$
Questão 34 - Marden Torres
$y = x^{2}e^{-1/x}$
Solução:
$y = x^{2}e^{-1/x}$
$y' = x^{2}e^{-1/x}{\Bigg(\frac{1}{x^{2}}\Bigg)} + e^{-1/x}(2x) = e^{-1/x} + 2xe^{-1/x} = e^{-1/x}(1 + 2x)$
Questão 35 - Guilherme Fernandes
$\displaystyle y = \cos{\Bigg(\frac{1 - e^{2x}}{1 + e^{2x}} \Bigg)}$.
Solução:
$\displaystyle y' = - \mathrm{sen}\,{\Bigg(\frac{1 - e^{2x}}{1 + e^{2x}} \Bigg)} \cdot \frac{(-2e^{2x})(1 + e^{2x}) - (1 - e^{2x}) \cdot 2e^{2x}}{(1 + e^{2x})^{2}} \\ \displaystyle y' = - \mathrm{sen}\,{\Bigg(\frac{1 - e^{2x}}{1 + e^{2x}} \Bigg)} \cdot \frac{-2e^{2x}[(1 + e^{2x}) + (1 - e^{2x})]}{(1 + e^{2x})^{2}} \\ \displaystyle y' = - \mathrm{sen}\,{\Bigg(\frac{1 - e^{2x}}{1 + e^{2x}} \Bigg)} \cdot \frac{-2e^{2x} \cdot 2}{(1 + e^{2x})^{2}} \\ \displaystyle y' = \mathrm{sen}\,{\Bigg(\frac{1 - e^{2x}}{1 + e^{2x}} \Bigg)} \cdot \frac{4e^{2x}}{(1 + e^{2x})^{2}}$
Questão 36 - Jeovane Carneiro
$y=\sqrt{1+xe^{-2x} } $.
Solução:
$y'=\frac{1}{2} (1+xe^{-2x})^{\frac{-1}{2} }[x(-2e^{-2x})+e^{-2x}]=\frac{e^{-2x}(-2x+1 }{2\sqrt{1+xe^{-2x} } } $
Questão 37 - Jailson Bezerra
$ y = \cot^2 (\sin \theta) = [\cot \ (\sin \theta)]^2 = \left [ \frac{\cos \ (\sin \theta)}{\sin \ (\sin \theta)} \right ]^2 $
$ tome, u = \sin \theta; \ u' = \cos \theta $
$ y = \left [ \frac{\cos \ (u)}{\sin \ (u)} \right ]^2 $
Solução:
$ y' = 2 \left [ \dfrac{\cos \ (u)}{\sin \ (u)} \right ] \cdot \dfrac{- \sin (u) \cdot u' \cdot \sin (u) -[\cos (u) \cdot \cos (u) \cdot u']}{\sin^2 (u)} $
$ y' = 2 \left [ \dfrac{\cos \ (u)}{\sin \ (u)} \right ] \cdot \dfrac{- u' \cdot \sin^2 (u) - u' \cos^2 (u)}{\sin^2 (u)} $
$ y' = 2 \left [ \dfrac{\cos \ (u)}{\sin \ (u)} \right ] \cdot \dfrac{- u' \cdot (\sin^2 (u) + \cos^2 (u))}{\sin^2 (u)} $
$ y' = -2 \left [ \dfrac{\cos \ (u)}{\sin \ (u)} \right ] \cdot \dfrac{u' }{\sin^2 (u)} = -2 \cdot \cot (u) \cdot u' \cdot \csc^2 (u) $
$ y' = -2 \cdot \cot (\sin \theta) \cdot \cos \theta \cdot \csc^2 (\sin \theta) $
Questã0 38 - Pedro Soares
Solução:
Questão 39 - Átila Santos
Solução:
Questão 40 - José Hudson
$y=\mathrm{sen}(\mathrm{sen}(\mathrm{sen}\,{x}))$
Solução:
$y'=\cos(\mathrm{sen}(\mathrm{sen}\,{x}))\cdot \cos(\mathrm{sen}\,{x})\cdot \cos{x}$
Questão 41 - Jailson Bezerra
$ f(t) = \sin^{2} (e^{\sin^2 t}) = \left [\sin (e^{\sin^2 t}) \right ]^2 $
$ tome, \ u = \sin t \ e \ u' = \cos t $
$ f(t) = \left [\sin (e^{u^2}) \right ]^2 $
Solução:
$ f'(t) = 2 \left [\sin \ (e^{u^2}) \right ] \cdot \cos \ (e^{u^2}) \cdot 2u \cdot u' \cdot e^{u^2} $
$ f'(t) = 4 \left [\sin \ (e^{u^2}) \right ] \cdot \cos \ (e^{u^2}) \cdot u \cdot u' \cdot e^{u^2} $
$ f'(t) = 4 \left [\sin \ (e^{\sin^2 t}) \right ] \cdot \cos \ (e^{\sin^2 t}) \cdot \sin t \cdot \cos t \cdot e^{\sin^2 t} $
Questão 42 - Marden Torres
$y = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}$
Solução:
$y = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}$
$y' = \frac{1}{2}(x + \sqrt{x + \sqrt{x}})^{-1/2}$${\Bigg[1 + \frac{1}{2}(x + \sqrt{x})^{-1/2}(1 + \frac{1}{2}x^{-1/2})\Bigg]}$
Questão 43 - Átila Santos
Solução:
Questão 44 - Matheus Matias
Solução:
Questão 45 - Diana Keli
$y=\cos \sqrt{\sin (\tan \pi x)}$
Solução:
$y=\cos (\sin (\tan \pi x))^{\frac{1}{2}}$
$y'=-\sin (\sin (\tan\pi x))^{\frac{1}{2}}\cdot \displaystyle\frac{d}{dx}(\sin(\tan \pi x))^{\frac{1}{2}}$
$y'=-\sin (\sin (\tan\pi x))^{\frac{1}{2}}\cdot \displaystyle\frac{1}{2}(\sin(\tan \pi x))^{-\frac{1}{2}}\cdot \displaystyle\frac{d}{dx}(\sin(\tan\pi x))$
$y'=\displaystyle\frac{-\sin\sqrt{\sin(\tan\pi x)}}{2\sqrt{\sin(\tan\pi x)}}\cdot \cos(\tan\pi x)\cdot \frac{d}{dx} \tan \pi x$
$y'=\displaystyle\frac{-\sin\sqrt{\sin(\tan\pi x)}}{2\sqrt{\sin(\tan\pi x)}}\cdot \cos(\tan\pi x)\cdot \sec^{2}(\pi x)\cdot \pi$
$y'=\displaystyle\frac{-\pi cos(\tan\pi x)\cdot \sec^{2}(\pi x)\cdot \sin \sqrt{\sin(\tan\pi x)}}{2\sqrt{\sin (\tan \pi x)}}$
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