$\delta$ Capítulo 4 - Seção 4.8 - Método de Newton (pág. 308 a 310)
Questão 01 - Marden Torres
Solução:
a) A linha tangente em x = 1 cruza o eixo x em $x\approx 2,3$, então $x2\approx 2.3$. A linha tangente em$x = 2.3$ intersecta o eixo x em $x\approx 3$, então $x3\approx 3.0$.
b) x1 = 5 não seria uma primeira aproximação melhor que x1 = 1, pois a linha tangente é quase horizontal. De fato, o segundo aproximação para x1 = 5 parece estar à esquerda de x = 1.
Questão 03 - Diana Keli
Solução:
Questão 05 - Val Maia
Solução:
Questão 07 - Marden Torres
Use o método de Newton com o valor inicial especificado $x_1$ para encontrar $x_3$, a terceira aproximação da raiz da equação dada. (Dê sua resposta com quatro casas decimais.)
$x^{5} - x - 1 = 0, x_1 = 1$
Solução:
$f(x) = x_5 - x -1 $
$f´(x) = 5x^{4} - 1$, então $x_n + 1 = x_n - \displaystyle\frac{x_n^{5} - x_n - 1}{5x_n^{4} -1 }$ agora $x_1 = 1$ =>
$x_2 = 1 - \displaystyle\frac{1 -1 -1 }{5 -1} = 1 - (- \frac{1}{4}) = 1,25$ =>
$x_3 = 1,25 - \displaystyle\frac{(1,25)^{5} - 1,25 - 1}{5(1,25)^{4} - 1}\approx 1,1785$
Questão 09 - Jailson Bezerra
Solução:
Questão 11 - Guilherme Oliveira
Use o método de Newton para aproximar o número dado com precisão de oito casas decimais. $\sqrt[5]{20}$.
Solução:
$x = \sqrt[5]{20} \quad \Rightarrow \quad x^{5} = 20 \quad \Rightarrow \quad x^{5} - 20 = f(x) \qquad f'(x) = 5 \cdot x^{4}$
$\sqrt[5]{20} \approx \sqrt[5]{32} = 2 \qquad x_1 = 2$
$f(2) = 2^{5} - 20 = 12 \qquad f'(2) = 5 \cdot 2^{4} = 80$
$x_2 = 2 - \displaystyle \frac{12}{80} = 1{,}85$
$f(1{,}85) = (1{,}85)^{5} - 20 \approx 1{,}670 \qquad f'(1{,}85) = 5 \cdot (1,85)^{4} = 52{,}488$
$x_3 = 1{,}85 - \displaystyle \frac{1{,}670}{52{,}488} \approx 1{,}82148614$
$\sqrt[5]{20} \approx 1{,}82148614$
Questão 13 - Aline Cristina
Solução:
Questão 15 - Antônio Wagner
Solução:
Questão 19 - José Hudson
Solução:
$f(x)=(x-2)^{2}-ln x=0$
$f'(x)=2(x-2)-\frac{1}{x}$
$x1=3$
$\displaystyle x1+1=x1-\frac{f(x)}{f'(x)}$
$\displaystyle x1+1=3-\frac{(3-2)^{2}-ln(3)}{2(3-2)-\frac{1}{3}}$
$\displaystyle x2=3,059165$
$\displaystyle x2+1= 3,059165-\frac{(3,059165-2)-ln(3,059165)}{2(3,059165-2)-\frac{1}{3,059165}}$
$x3=3,057106$
Questão 20 - Robson Santos
Use o método de Newton para encontrar todas as raizes indicada da equação com precisão de seis casas decimais.$\displaystyle \frac{1}{x}= 1 + x^3$
Solução:
$\displaystyle f(x)= \frac{1}{x}-1 -x^3=0$
$\displaystyle f(x)= \frac{1}{x}-1 -x^3\Rightarrow f'(x)= -\frac{1}{x^2} - 3x^2 $
$\displaystyle x_{n+1}= x_{n} -\frac{\frac{1}{x_{n}}- 1- x^3n}{-\frac{1}{xn^2}-3x^2n}$
$\displaystyle x_{1}= -1,2$
$\displaystyle x_{1}= 0,8$
$\displaystyle x_{2}\approx -1,221006$
$\displaystyle x_{2}\approx 0,724767$
$\displaystyle x_{3}\approx -1,220744$
$\displaystyle x_{3}\approx 0.724492$
Questão 21 - Antônio Wagner
Solução:
Questão 23 - Alessandra Farias
Solução:
Questão 25 - Thales Fernandes
Solução:
Questão 27 - Robson Santos
Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de oito casas decimais. Comece fazendo um gráfico para encontrar a aproximação inicial.
$\displaystyle 4e^{-x^2}sen x = x^2-x+1$
Solução:
$\displaystyle f(x)= 4e^{-x^2}sen- x^2+x-1$
$\displaystyle f'(x)= 4e^{-x^2}(cosx - 2x \cdot senx)sen- 2x-1$
$\displaystyle x_{n+1}= x_{n}- \frac{4e^{-x^2}senx_{n}-x^2_{n}+x_{n}-1}{4e^{-x^2}(cosx_{n}-2x_{n})\cdot-2x+1}$
$\displaystyle x_{1} = 0,2$
$\displaystyle x_{1} = 1,1$
$\displaystyle x_{2} \approx 0.21883273$
$\displaystyle x_{2} \approx 1.08432830$
$\displaystyle x_{3} \approx 0.21916357$
$\displaystyle x_{3} \approx 1.08422462$
$\displaystyle x_{4} \approx 0.21916368$
Questão 29 - Aline Cristina
Solução:
Questão 33 - Diana Keli
Solução:
Questão 35 - Alessandra Farias
Solução:
Questão 37 - Val Maia
Solução:
Questão 38 - Guilherme Oliveira
Dentre as infinitas retas tangentes à curva $y = - \, \mathrm{sen} \, {x}$ que passam pela origem, existe uma que tem a maior inclinação. Use o método de Newton para encontrar a inclinação desta reta com precisão de seis casas decimais.
Solução:
$f(x) = - \, \mathrm{sen} \, {x} \qquad f'(x) = - \cos{x}$
$f'(a) = - \cos{a} \qquad y = \displaystyle \frac{- \, \mathrm{sen} \,{a} - 0}{a - 0} \cdot x$
$\displaystyle \frac{- \, \mathrm{sen} \, {a}}{a} = - \cos{a} \quad \Rightarrow \quad \mathrm{tg} \, {a} = a$
$f(x) = \mathrm{tg} \, {x} - x \qquad f'(x) = \sec^{2}{x} - 1$
$x_1 = 4{,}5 \qquad x_2 = 4{,}5 - \displaystyle \frac{\mathrm{tg} \, {4{,}5} - 4{,}5}{\sec^{2}{4{,}5} - 1} \approx 4{,}493614$
$x_3 = 4{,}493614 - \displaystyle \frac{\mathrm{tg} \, {4{,}493614} - 4{,}493614}{\sec^{2}{4{,}493614} - 1} \approx 4{,}493410$
$x_3 = 4{,}493410 - \displaystyle \frac{\mathrm{tg} \, {4{,}493410} - 4{,}493410}{\sec^{2}{4{,}493410}} \approx 4{,}493409$
$f'(x_4) \approx 0{,}217234$
Questão 39 - José Hudson
Use o método de Newton para encontrar coordenadas, com precisão de 6 casas decimais, do ponto da parábola $y= (x-1)^{2}$ que esteja mais próximo da origem.
Solução:
$\displaystyle y= (x-1)^{2}\cdot d = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$
$\displaystyle d(x)= \sqrt{y^{2}+ [(x-1)^{2}]^{2}} = \sqrt{x^{2}+(x-1)^{2}}$
$\displaystyle f(x)=2x+4(x-1)^{3}$
$\displaystyle f'(x)=2+12(x-1)^{2}$
$\displaystyle x1=0,5$
$\displaystyle x1+1=0,5 - \frac{2(0,5)+4(0,5-1)^{3}}{2+12(0,5-1)^{2}}$
$\displaystyle x2= 0,4$
$\displaystyle x2+1=-0,4 - \frac{2(0,4)+4(0,4-1)^{3}}{2+12(0,4-1)^{2}}$
$\displaystyle x3=0,410127$
$\displaystyle x3+1=0,410127-\frac{2(0,410127)+4(0,410127-1)^{3}}{2+12(0,410127-1)^{2}}$
$\displaystyle x4=0,410245$
$d(0,410245)$ é a distancia mínima e o ponto da parábola é $(0,410245;0,347810)$
Questão 41 - Jailson Bezerra
Solução:
Questão 51 - Thales Fernandes
Solução:
Solução:
a) A linha tangente em x = 1 cruza o eixo x em $x\approx 2,3$, então $x2\approx 2.3$. A linha tangente em$x = 2.3$ intersecta o eixo x em $x\approx 3$, então $x3\approx 3.0$.
b) x1 = 5 não seria uma primeira aproximação melhor que x1 = 1, pois a linha tangente é quase horizontal. De fato, o segundo aproximação para x1 = 5 parece estar à esquerda de x = 1.
Questão 03 - Diana Keli
Solução:
Questão 05 - Val Maia
Solução:
Questão 07 - Marden Torres
Use o método de Newton com o valor inicial especificado $x_1$ para encontrar $x_3$, a terceira aproximação da raiz da equação dada. (Dê sua resposta com quatro casas decimais.)
$x^{5} - x - 1 = 0, x_1 = 1$
Solução:
$f(x) = x_5 - x -1 $
$f´(x) = 5x^{4} - 1$, então $x_n + 1 = x_n - \displaystyle\frac{x_n^{5} - x_n - 1}{5x_n^{4} -1 }$ agora $x_1 = 1$ =>
$x_2 = 1 - \displaystyle\frac{1 -1 -1 }{5 -1} = 1 - (- \frac{1}{4}) = 1,25$ =>
$x_3 = 1,25 - \displaystyle\frac{(1,25)^{5} - 1,25 - 1}{5(1,25)^{4} - 1}\approx 1,1785$
Questão 09 - Jailson Bezerra
Solução:
Questão 11 - Guilherme Oliveira
Use o método de Newton para aproximar o número dado com precisão de oito casas decimais. $\sqrt[5]{20}$.
Solução:
$x = \sqrt[5]{20} \quad \Rightarrow \quad x^{5} = 20 \quad \Rightarrow \quad x^{5} - 20 = f(x) \qquad f'(x) = 5 \cdot x^{4}$
$\sqrt[5]{20} \approx \sqrt[5]{32} = 2 \qquad x_1 = 2$
$f(2) = 2^{5} - 20 = 12 \qquad f'(2) = 5 \cdot 2^{4} = 80$
$x_2 = 2 - \displaystyle \frac{12}{80} = 1{,}85$
$f(1{,}85) = (1{,}85)^{5} - 20 \approx 1{,}670 \qquad f'(1{,}85) = 5 \cdot (1,85)^{4} = 52{,}488$
$x_3 = 1{,}85 - \displaystyle \frac{1{,}670}{52{,}488} \approx 1{,}82148614$
$\sqrt[5]{20} \approx 1{,}82148614$
Questão 13 - Aline Cristina
Solução:
Questão 15 - Antônio Wagner
Solução:
Questão 19 - José Hudson
Use o método de Newton para aproximar o número dado com precisão de oito casas decimais.
$(x-2)^{2}=ln x$
Solução:
$f(x)=(x-2)^{2}-ln x=0$
$f'(x)=2(x-2)-\frac{1}{x}$
$x1=3$
$\displaystyle x1+1=x1-\frac{f(x)}{f'(x)}$
$\displaystyle x1+1=3-\frac{(3-2)^{2}-ln(3)}{2(3-2)-\frac{1}{3}}$
$\displaystyle x2=3,059165$
$\displaystyle x2+1= 3,059165-\frac{(3,059165-2)-ln(3,059165)}{2(3,059165-2)-\frac{1}{3,059165}}$
$x3=3,057106$
Questão 20 - Robson Santos
Use o método de Newton para encontrar todas as raizes indicada da equação com precisão de seis casas decimais.$\displaystyle \frac{1}{x}= 1 + x^3$
Solução:
$\displaystyle f(x)= \frac{1}{x}-1 -x^3=0$
$\displaystyle f(x)= \frac{1}{x}-1 -x^3\Rightarrow f'(x)= -\frac{1}{x^2} - 3x^2 $
$\displaystyle x_{n+1}= x_{n} -\frac{\frac{1}{x_{n}}- 1- x^3n}{-\frac{1}{xn^2}-3x^2n}$
$\displaystyle x_{1}= -1,2$
$\displaystyle x_{1}= 0,8$
$\displaystyle x_{2}\approx -1,221006$
$\displaystyle x_{2}\approx 0,724767$
$\displaystyle x_{3}\approx -1,220744$
$\displaystyle x_{3}\approx 0.724492$
Questão 21 - Antônio Wagner
Solução:
Questão 23 - Alessandra Farias
Solução:
Questão 25 - Thales Fernandes
Solução:
Questão 27 - Robson Santos
Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de oito casas decimais. Comece fazendo um gráfico para encontrar a aproximação inicial.
$\displaystyle 4e^{-x^2}sen x = x^2-x+1$
Solução:
$\displaystyle f'(x)= 4e^{-x^2}(cosx - 2x \cdot senx)sen- 2x-1$
$\displaystyle x_{n+1}= x_{n}- \frac{4e^{-x^2}senx_{n}-x^2_{n}+x_{n}-1}{4e^{-x^2}(cosx_{n}-2x_{n})\cdot-2x+1}$
$\displaystyle x_{1} = 0,2$
$\displaystyle x_{1} = 1,1$
$\displaystyle x_{2} \approx 0.21883273$
$\displaystyle x_{2} \approx 1.08432830$
$\displaystyle x_{3} \approx 0.21916357$
$\displaystyle x_{3} \approx 1.08422462$
$\displaystyle x_{4} \approx 0.21916368$
Questão 29 - Aline Cristina
Solução:
Questão 33 - Diana Keli
Solução:
Questão 35 - Alessandra Farias
Solução:
Questão 37 - Val Maia
Solução:
Questão 38 - Guilherme Oliveira
Dentre as infinitas retas tangentes à curva $y = - \, \mathrm{sen} \, {x}$ que passam pela origem, existe uma que tem a maior inclinação. Use o método de Newton para encontrar a inclinação desta reta com precisão de seis casas decimais.
Solução:
$f(x) = - \, \mathrm{sen} \, {x} \qquad f'(x) = - \cos{x}$
$f'(a) = - \cos{a} \qquad y = \displaystyle \frac{- \, \mathrm{sen} \,{a} - 0}{a - 0} \cdot x$
$\displaystyle \frac{- \, \mathrm{sen} \, {a}}{a} = - \cos{a} \quad \Rightarrow \quad \mathrm{tg} \, {a} = a$
$f(x) = \mathrm{tg} \, {x} - x \qquad f'(x) = \sec^{2}{x} - 1$
$x_1 = 4{,}5 \qquad x_2 = 4{,}5 - \displaystyle \frac{\mathrm{tg} \, {4{,}5} - 4{,}5}{\sec^{2}{4{,}5} - 1} \approx 4{,}493614$
$x_3 = 4{,}493614 - \displaystyle \frac{\mathrm{tg} \, {4{,}493614} - 4{,}493614}{\sec^{2}{4{,}493614} - 1} \approx 4{,}493410$
$x_3 = 4{,}493410 - \displaystyle \frac{\mathrm{tg} \, {4{,}493410} - 4{,}493410}{\sec^{2}{4{,}493410}} \approx 4{,}493409$
$f'(x_4) \approx 0{,}217234$
Questão 39 - José Hudson
Use o método de Newton para encontrar coordenadas, com precisão de 6 casas decimais, do ponto da parábola $y= (x-1)^{2}$ que esteja mais próximo da origem.
Solução:
$\displaystyle y= (x-1)^{2}\cdot d = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$
$\displaystyle d(x)= \sqrt{y^{2}+ [(x-1)^{2}]^{2}} = \sqrt{x^{2}+(x-1)^{2}}$
$\displaystyle f(x)=2x+4(x-1)^{3}$
$\displaystyle f'(x)=2+12(x-1)^{2}$
$\displaystyle x1=0,5$
$\displaystyle x1+1=0,5 - \frac{2(0,5)+4(0,5-1)^{3}}{2+12(0,5-1)^{2}}$
$\displaystyle x2= 0,4$
$\displaystyle x2+1=-0,4 - \frac{2(0,4)+4(0,4-1)^{3}}{2+12(0,4-1)^{2}}$
$\displaystyle x3=0,410127$
$\displaystyle x3+1=0,410127-\frac{2(0,410127)+4(0,410127-1)^{3}}{2+12(0,410127-1)^{2}}$
$\displaystyle x4=0,410245$
$d(0,410245)$ é a distancia mínima e o ponto da parábola é $(0,410245;0,347810)$
Questão 41 - Jailson Bezerra
Solução:
Questão 51 - Thales Fernandes
Solução:
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