$\int$ Capítulo 6 - Seção 6.1 - Áreas entre as curvas (386)

Questões 01 - 04. Encontre a área da região sombreada. 

Questão 03 - Diana Keli
$x=y^{2}-2;x=e^{y};y=1;y=-1$

Solução:

$\displaystyle A = \int_{y=-1}^{y=1}(xR - xL)dy $

$\displaystyle A = \int_{-1}^{1}[e^{y}-(y^{2}-2)]dy $

$\displaystyle A = \int_{-1}^{1}[e^{y}-y^{2}+2]dy$

$\displaystyle A = \int_{-1}^{1}[e^{y}-\frac{1}{3}y^{3}+2y]|_{1}^{-1}$

$\displaystyle\left ( e^{1}-\frac{1}{3}+2 \right )-\left ( e^{-1}+\frac{1}{3}-2 \right )=$

$\displaystyle e-\frac{1}{3}+\frac{10}{3}u.a$

Questão 04 - Jailson Bezerra

 

$ x = y^2 -4y; x = 2y -y^2; g(-3, 3) $

Solução:

$ \displaystyle A = \int_{0}^{3} (2y -y^2 - (y^2 -4y))dy \ = \dfrac{-2y^3}{3} + 3y^2 |_{0}^{3} $
$ = \dfrac{3 \cdot 3^3}{3} + 3 \cdot 3^2 - 0 = -18 +27 = 9\,  \mbox{u.m.} $

Questões 05 - 12. Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a $x$ ou $y$. Desenhe um retângulo aproximamente (aproximadamente?!) típico e identifique sua altura e largura. Então, calcule a área da região.

 Questão 06 - Marden Torres
$y = sen {x}, y = x,  x = \pi/2,  x = \pi$

Solução:

$\displaystyle A = \int_{\pi/2}^{\pi}(x - sen x ) dx = \left[\dfrac{x^{2}}{{2}} + cos x \right]_{\pi/2}^{\pi}$

$= \displaystyle\left(\frac{\pi^{2}}{2}-1\right) - \left(\frac{\pi^{2}}{8} + 0\right)$

$ = \displaystyle\frac{3\pi^{2}}{8} - 1$

Questão 07 - Guilherme Fernandes
$y = x, \; y = x^{2}$.

Solução:

-

 $x^{2} = x \; \Rightarrow \; x^{2} - x = 0 \; \Rightarrow \; x(x - 1) = 0 \\ x_1 = 0,\; x_2 = 1. \\ \displaystyle A = \int_{1}^{0} (x^{2} - x)\, dy \\ A = \left[\dfrac{x^{3}}{3} - \dfrac{x^{2}}{2} \right]_{1}^{0} \; \Rightarrow \; \left[\dfrac{2x^{3} - 3x^{2}}{6} \right]_{1}^{0} \\ A = 0 - \dfrac{2 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1^{2}}{6} \; \Rightarrow \; 0 - \dfrac{2 - 3}{6} \\ A = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}17 \, \mbox{u.a.}$
Questão 9 - José Hudson

$y=\dfrac{1}{x};y=\dfrac{1}{x^{2}};x=2$
Solução:

$A = \int_{1}^{2} \left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}\right)dx = \left[\ln{x}+ \dfrac{1}{x}\right]_{1}^{2}$
$= (\ln{2}+\dfrac{1}{2})-(\ln{1}+1)$
$\ln{2}-\dfrac{1}{2}\approx 0.19$

Questões 13 - 28. Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.

Questão 13 - Diana Keli
$y = 12-x^{2}, x = x^{2}-6$

Solução:

$12-x^{2} = x^{2}-6$
$2x^{2} = 18$
$x^{2} = 9$
$x = \pm 3$


$\displaystyle A = \int_{-3}^{3}[(12-x^{2})-(x^{2}-6)]dx$
$\displaystyle A = 2\int_{0}^{3}(18-2x^{2})dx$
$\displaystyle 2\left |18x-\frac{2}{3}x^{3} \right |_{0}^{3}$
$2[(54-18)-0]$
$2(36)=52u.a.$



Questão 14 - Jailson Bezerra

$ y = x^2; y = 4x -x^2 $

Solução:

$ x^2 = 4x -x^2 $
$ 2x^2 -4x = 0 $
$ 2x(x - 2) = 0, logo, \, x1 = 0 \, e \, x2 = 2 $
$ \displaystyle A = \int_{0}^{2} (4x -x^2 -x^2)dy \ = 2x^2 - \dfrac{-2x^3}{3} |_{0}^{2} $
$ = 2 \cdot 2^2 - \dfrac{2 \cdot 2^3}{3}  = 8 - \dfrac {16}{3} = \dfrac {8}{3} \,  \mbox{u.m.} $



Questão 16 - Marden Torres

$y=cos x, y=2 - cos x, 0\leq x\leq 2\pi$


Solução:

 $\displaystyle A = \int_{0}^{2\pi} [(2 - cos x) - cos x] dx$

$ = \displaystyle \int_{0}^{2\pi} (2 - 2 cos x ) dx$

$\displaystyle\Big[2x - 2 sen x\Big]_{0}^{2\pi}$

$= ( 4\pi - 0 ) -0 = 4\pi$

 

Questão 17 - Guilherme Fernandes
$x = 2y^{2}, \; x = 4 + y^{2}$.


Solução:
$2y^{2} = 4 + y^{2} \; \Rightarrow \; 2y^{2} - 4 - y^{2} = 0 \\ y^{2} - 4 = 0 \; \Rightarrow \; y^{2} = 4 \; \Rightarrow \; y = \pm \sqrt{4} \\ y = \pm 2. \\ \displaystyle A = \int_{2}^{-2} (y^{2} - 4)\, dy \\ A = \left[\dfrac{y^{3}}{3} - 4y \right]_{2}^{-2} \; \Rightarrow \; \left[\dfrac{y^{3} - 12y}{3} \right]_{2}^{-2} \\ A = \left[\dfrac{(-2)^{3} - 12 \, (-2)}{3} \right] - \left[\dfrac{2^{3} - 12 \cdot 2}{3} \right]$ $A = \left(\dfrac{-8 + 24}{3} \right) - \left(\dfrac{8 - 24}{3} \right) = \dfrac{16}{3} + \dfrac{16}{3} \\ A = \dfrac{32}{3} \approx 10{,}67 \, \mbox{u.a.}$


Questão 19 - José Hudson
$y = \cos{\pi x};y=4x^{2}-1$
Solução :

$x= \pm \dfrac{1}{2}$
$A= \int_{\dfrac{-1}{2}}^{\dfrac{1}{2}}[\cos{\pi x} (4x^{2}-1)]dx$
$= 2 \int_{0}^{\dfrac{1}{2}}(\cos{\pi x}-4x^{2}+1)dx$
$2\left[\dfrac{1}{\pi} \mathrm{sen}{\pi x} - 4x^{3} + x \right]_{0}^{\dfrac{1}{2}}$
$2\left[\left(\dfrac{1}{\pi}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{2}\right)-0\right]$
$2\left(\dfrac{1}{\pi}+\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{2}{\pi}+\dfrac{2}{3}$
Questão 25 - Robson Santos
$ y =\sqrt{x} ,y = \frac{1}{2}x, x=9$

Solução:

$\frac{1}{2}x = \sqrt{x} \; \Rightarrow \;\frac{1}{2}x^{2} = x  \; \Rightarrow \; x^{2} - 4x = 0 \; \Rightarrow \; x(x-4) = 0 \; \Rightarrow \; x =0 \\ x_1 = 0,\; x_2 = 4. \\ \displaystyle A = \int_{0}^{4} (\sqrt{x}- \frac{1}{2}x)\, dx + \displaystyle A = \int_{4}^{9}(\frac{1}{2}x -\sqrt{x})\, dx \\ A = \left[\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}- \frac{1}{4}x^{2}\right]_{0}^{4} +  \left[ \frac{1}{4}x^{2} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}\right]_{4}^{9} \;  \Rightarrow \; \left[ \frac{2}{3}\cdot\sqrt{4^{3}}-\frac{1}{4} \cdot 4^{2} - 0\right]_{0}^{4} + \left [ \left ( \frac{1}{4}\cdot 9^{2} - \frac{2}{3}\cdot \sqrt{9^{3}} \right  ) -\left ( \frac{1}{4}\cdot 4^{2}-\frac{2}{3}\cdot \sqrt{4^{3}} \right )\right ] \\ \displaystyle A = \left [ \left ( \frac{16}{3}-4 \right )-0 \right ] +\left [ \left ( \frac{81}{4}-18 \right )-\left ( 4-\frac{16}{3} \right ) \right ]\\ \displaystyle A = \frac{81}{4} +\frac{32}{3} - 26=\frac{59}{12}$



Questão 26 - Robson Santos
$ y = \left | x \right | , y = x^{2} -2 $

Solução:

$x >0, x=x^{2}-2\; \Rightarrow \;0 = x^{2}-x-2 \; \Rightarrow \; 0 = (x-2)(x+1) \; \Rightarrow \; x = 2\;   \\ \displaystyle A = \int_{-2}^{2} [\left | x \right | - (x^{2}-2)]\, dx  = 2\int_{-2}^{2} [x-(x^{2}-2)] dx\, = 2\int_{-2}^{2} (x-x^{2}+2) dx \\  \displaystyle A = \left [  \frac{1}{2}x^{2}- \frac{1}{3}x^{3} + 2x\right ] +\left [ \left ( \frac{81}{4}-18 \right )-\left ( 4-\frac{16}{3} \right ) \right ]_{0}^{2}\\ A = 2(2-\frac{8}{3}+4) = \frac{20}{3}\;  $