$\int$ Capítulo 5 - Seção 5.5 - A Regra da Substituição (374)
Questões 01 - 06 Calcule a integral fazendo a substituição dada.
Questão 07 - Robson Santos
$\displaystyle \int x sen(x^2)dx$
Solução:
$u=x^2$
$du=2xdx$
$xdx=\frac{1}{2}$
$\displaystyle \int x sen(x^2)dx= \displaystyle \int sen\cdot\left ( \frac{1}{2}du \right )= -\frac{1}{2}cos \cdot u+C= -\frac{1}{2}(x^2)+C $
Questão 04 - Guilherme Fernandes
$\displaystyle \int \frac{dt}{(1 - 6t)^{4}}\; dt, \; u = 1 - 6t.$
Solução:
$\displaystyle \left(du = -6 \; dt \; \Rightarrow \; dt = - \frac{du}{6} \right) \; \int - \frac{u^{-4}}{6}\, du \; =\; - \frac{1}{6} \int u^{-4}\, du \\ - \dfrac{1}{6}\, \dfrac{u^{-3}}{-3} \; =\; \dfrac{u^{-3}}{18} \; =\; \dfrac{1}{18 \, u^{3}} \; =\; \dfrac{1}{18\,(1 - 6t)^{3}} + c.$
Questão 5 - Jailson Bezerra
$ \int \cos^3 \theta \cdot \sin \theta \cdot d\theta $
$ tome \ u = \cos \theta \ e \ \frac{du}{d\theta} = - \sin \theta, \ logo \ \sin \theta \cdot d\theta = -du $
Solução
$ \int -u^3 \cdot du $
$ \dfrac {-u^4}{4} + c = \dfrac {- \cos^4 \theta}{5} + c $
Questões 7 – 48 Calcule a integral indefinida.
Questão 8- Diana Keli
$\displaystyle\int x^{2}e^{x^{3}}dx$
Solução
$u=x^{3}$
$du=3x^{2}dx$
$x^{2}dx=\frac{1}{3}$
$\displaystyle\int x^{2}e^{x^{3}}dx$
$\displaystyle\int e^{u}\left ( \frac{1}{3}du \right )=$
$\displaystyle\frac{1}{3}e^{u}+C=$
$\displaystyle\frac{1}{3}e^{x^{3}}+C$
Questão 9 - Jailson Bezerra
$ \int (3x-2)^{20} \cdot dx $
$ tome \ u = 3x-2 \ e \ \dfrac {du}{dx}= 3 \ , logo \ dx = 3 \cdot du $
Solução
$ \int 3 \cdot u^{20} \cdot du $
$ \dfrac {3 \cdot u^{21}}{21} + c = \dfrac {u^{21}}{7} + c = \dfrac {(3x - 2)^{21}}{7} + c $
Questão 13 - Jailson Bezerra
$ \int \dfrac {dx}{5 -3x} = \int (5 -3x)^{-1} \cdot dx $
$ tome \ u \ =5 - 3x \ e \ \dfrac {du}{dx}= -3, \ logo \ dx = \dfrac {-du}{3} $
Solução
$ \int \dfrac {-u^{-1} \cdot du}{3} = \dfrac {- \ln u}{3} + c = \dfrac {-\ln {(5 - 3x)}}{3} + c $
Questão 14 - Jailson Bezerra
$ \int u\sqrt{1 - u^2} $
$ tome \ x = 1 - u^2 e \ \dfrac {dx}{du} = -2u, \ logo \ u \cdot du = \dfrac {- dx}{2} $
Soçução
$ \int \dfrac {-1}{2} \cdot \sqrt {x} \cdot dx = \dfrac {-1}{2} \cdot \dfrac {x^{3/2}}{\dfrac{3}{2}} + c = \dfrac {-1}{3} \cdot x^{3/2} + c = \dfrac {-1}{3} \cdot \sqrt{(1- u^2)^3} + c $
Questão 17 - Antônio Wagner
$\displaystyle\int\frac{e^{u}}{(1-e^{u})^{2}}du$
Solução
$x=1-e^{u}$
$dx=-e^{u}du$
$e^{u}du = -dx$
$\displaystyle\int\frac{1}{x^{2}}(-dx) = - \int x^{-2}dx = -(-x^{-1})+C=\frac{1}{x}+C=\frac{1}{1-e^{u}}+C $
Questão 18 - Antônio Wagner
$\displaystyle\int\frac{sen\sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx$
Solução
$u=\sqrt{x}$
$du=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx$
$2du=\frac{1}{\sqrt{x}}$
$\int sen u (2du)= -2 cos u + C = -2 cos \sqrt{x} + C$
Questão21- Marden Torres
$\displaystyle\int\frac{(ln x)^{2}}{x}dx$
Solução
Seja $u = ln x$. Então $du = \frac{dx}{x}$
Assim
$\displaystyle\int\frac{(ln x)^{2}}{x}dx=$$\int u^{2} du = \frac{1}{3}u^{3} + C = \frac{1}{3}(ln x)^{3} + C$
Questão23- Robson Santos
$\displaystyle \int sex^2\theta\cdot tg^3\theta\cdot d\theta $
Solução:
$u=tg\theta $
$du=sec^2\theta \cdot d\theta $
$\displaystyle \int sex^2\theta\cdot tg^3\theta\cdot d\theta =\displaystyle \int u^3\cdot du =\frac{1}{4}\cdot u^4+C=\frac{1}{4}tg^4\theta +C$
Questão24- Robson Santos
$\displaystyle \int \sqrt{x}\cdot sen(1+x^{\frac{3}{2}})dx$
Solução:
$u=1+x^{\frac{3}{2}}$
$du=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}dx$
$\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}du$
$\displaystyle \int \sqrt{x}\cdot sen(1+x^{\frac{3}{2}})dx =\displaystyle \int sen u\left ( \frac{2}{3}du \right )= \frac{2}{3}\cdot (-cos \cdot u)+C=-\frac{2}{3}cos(1+x^{\frac{3}{2}})+C$
Questão 26 - Guilherme Fernandes
$\displaystyle \int \frac{dx}{ax + b}\; (a \ne 0).$
Solução:
$\displaystyle \left(u = ax + b,\, du = a\; dx \; \Rightarrow \; dx = \frac{du}{a} \right)\; \int \frac{\tfrac{1}{u}}{a} \; = \; \frac{1}{a}\, \int \frac{1}{u}\; du \\ \dfrac{1}{a}\, \ln{u} + c \; = \; \dfrac{1}{a}\, \ln{(ax + b)} + c.$
Questão 27 - José Hudson
$\int (x^{2}+ 1)(x^{3}+3x)^{4}dx$
Solução :
$u= x^{3}+3x$
$du= 3x^{2}\cdot dx = \dfrac{1}{3}\cdot du= x^{2}\cdot dx$
$\int u^{4}\left(\dfrac{1}{3}du\right)$
$\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{5} u^{5}+C = \dfrac{1}{15}(x^{3}+3x)^{5}+C$
Questão32- Marden Torres
$\displaystyle\int\frac{ \mbox{sen}(ln\, x)}{x}dx$
Solução
Seja u = ln x. Então $du = (1 / x) dx$,
assim
$\displaystyle\int\frac{ \mbox{sen}(ln\, x)}{x}dx = $$\int \mbox{sen}\,{u}\, du = - cos\, u + C = - cos(ln\, x) + C$
Questão 33 - Antônio Wagner
$\displaystyle\int\frac{cos x}{sen^{2}x}dx$
Solução
$u=sen x$
$du=cos x dx$
$\displaystyle\int\frac{1}{u^{2}}du = \int u^{-2}du=\frac{u^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{u}+C = -\frac{1}{sen x}+C$
Questão34- Marden Torres
$\displaystyle\int\frac{cos(\pi/x)}{x^{2}}dx$
Solução
Deixe $u =\frac{\pi}{x}$ Então $du = - \frac{\pi}{x^{2}}dx$ e $\frac{1}{x^{2}}dx = -\frac{1}{\pi}du$
Assim
$\displaystyle\int\frac{cos(\pi/x)}{x^{2}}dx = $$\displaystyle\int cos\,u\Big(-\frac{1}{\pi}du\Big)=$$\displaystyle-\frac{1}{\pi}sen\,u + C = -\frac{1}{\pi}sen\frac{\pi}{x} + C$
Questão 36- Diana Keli
$\displaystyle\int \frac{2^{t}}{2^{t}+3}dt$
Solução
$u=2^{t}+3$
$du=2^{t}ln2 dt$
$2^{t}dt=\frac{1}{ln2}du$
$\displaystyle\int \frac{2^{t}}{2^{t}+3}dt$
$\displaystyle\int \frac{1}{u}\left ( \frac{1}{ln2}du \right )=$
$\displaystyle\frac{1}{ln2}ln\left | u \right |+C=$
$\displaystyle\frac{1}{ln2}ln(2^{t}+3)+C$
Questão 37 - Guilherme Fernandes
$\displaystyle \int \mbox{senh}^{2}\,{x}\, \cosh{x}\; dx.$
Solução:
$\displaystyle \left(u = \cosh{x},\, du = \mbox{senh}\,{x}\; dx \right) \int \mbox{senh}\,{x} \, u \,{x}\; dx\; = \; \mbox{senh}\,{x}\, \int u\; du \\ \mbox{senh}\,{x} \, \dfrac{u^{2}}{2} + c \; = \; \mbox{senh}\,{x} \, \dfrac{\mbox{senh}^{2}\,{x^{2}}}{2} + c \; = \; \dfrac{\mbox{senh}^{3}\,{x^{3}}}{2} + c.$
Questão 39- Diana Keli
$\displaystyle\int \frac{\sin 2x}{1+\cos^{2}x}dx$
Solução
$u=\cos x$
$du=-\sin x\cdot dx$
$\displaystyle\int \frac{\sin 2x}{1+\cos^{2}x}dx=$
$\displaystyle2\int \frac{\sin x \cos x}{1+\cos^{2}x}dx=$
$\displaystyle-2\int \frac{u\cdot du}{1+u^{2}}=$
$\displaystyle-2\cdot \frac{1}{2}ln(1+u^{2})+C=$
$\displaystyle-ln(1+u^{2})+C=$
$\displaystyle-ln(1+\cos^{2}x)+C$
Questão 44- José Hudson
$\int \dfrac{x}{1+x^{4}}dx$
Solução :
$u= x^{2}$
$\dfrac{1}{3}du=x \cdot dx$
$\int \dfrac{\dfrac{1}{2}du}{1 + u^{2}} = \dfrac{1}{2}tan^{-1}u+C = \dfrac{1}{2}tan^{-1}x^{2}+C$
Questão 45- Robson Santos
$\displaystyle \int \frac{1+x}{1+x^2}dx$
Solução
$u=1+x^2$
$du=2x dx$
$\displaystyle \int \frac{1+x}{1+x^2}dx= \displaystyle \int \frac{1}{1+x^2}dx+\displaystyle \int \frac{x}{1+x^2}dx=tg^{-1}x+\displaystyle \int \frac{\frac{1}{2}du}{u}=tg^{-1}x+\frac{1}{2}ln \mid u\mid +C =tg^{-1}x+\frac{1}{2}ln\mid 1+x^2 \mid +C=tg^{-1}x+\frac{1}{2}ln(1+x^2)+C$
$Quando1+x^2>0$
Questão 48 - Antônio Wagner
$\displaystyle\int x^{3}\sqrt{x^{2}+1} dx$
Solução
$u=\sqrt{x^{2}+1}$
$u^{2}=x^{2}+1 -> 2u du = 2x dx -> u du = x dx$
$\int x^{2}\sqrt{x^{2}+1}x dx = \int (u^{2}-1)u \cdot u du =\int(u^{4}-u^{2})du$
$\int\frac{1}{5}u^{5}-\frac{1}{3}u^{3}+C=\frac{1}{5}(x^{2}+1)^{5/2}-\frac{1}{3}(x^{2}+1)^{3/2}+C$
49–52 Calcule a integral indefinida.
Questão 50 - Guilherme Fernandes
$\displaystyle \int \mbox{tg}^{2}\,{\theta}\, \sec^{2}{\theta}\; d\theta.$
Solução:
$\displaystyle \left(u = \mbox{tg}\,{\theta},\, du = \sec^{2}{\theta}\; d\theta \right)\; \int u^{2}\; du \\ \dfrac{u^{3}}{3} + c \; = \; \dfrac{\mbox{tg}^{3}\,{\theta}}{3} + c.$
Questão 52- Diana Keli
$\displaystyle\int \sin x \cdot \cos^{4} x\cdot dx $
Solução
$u=\cos x$
$du=-\sin x\cdot dx$
$\displaystyle\int \sin x \cdot \cos^{4} x\cdot dx =$
$\displaystyle\int u^{4}(-du)=$
$\displaystyle-\frac{1}{5}u^{5}+C=$
$\displaystyle-\frac{1}{5}\cos^{5}x+C$
Questões 53 – 73 Avalie a integral definida.
Questão 57 - Antônio Wagner
$\displaystyle\int_{0}^{\pi} sec^{2}(t/4) dt$
Solução
$u=t/4, então du = \frac{1}{4} dt$
$Quando t=0, u=0 e quando t=\pi, u=\pi/4$
$\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}sec^{2}u(4du)=\int{0}^{\pi/4}4tgu = 4\left(tg\frac{\pi}{4}-tg0\right) = 4(1-0) = 4$
Questão 59 - José Hudson
$\int_{1}^{2} \dfrac{e^{\dfrac{1}{x}}}{x^{2}}dx$
Solução :
$u= \dfrac{1}{x}$
$du = \dfrac{-1}{x^{2}}$
$x= 1, u = 1$
$ x = 2, u= \dfrac{1}{2}$
$\int_{1}^{2} \dfrac{e^{\dfrac{1}{x}}}{x^{2}}dx$
$\int_{1}^{\frac{1}{2}} e^{u}(-du) = - [e^{u}]_{1}^{\frac{1}{2}}$
$-(e^{\dfrac{1}{2}-e})= e - \sqrt{e}$
Questão 62 - José Hudson
$\int_{1}^{\frac{\pi}{2}} \cos{x} \mathrm{sen}\,(\mathrm{sen}\,x)dx$
Solução :
$u= \mathrm{sen}\,x$
$du = \cos{x}\cdot dx$
$x = 0, u= 0$
$ x= \frac{\pi}{2}, u =1$
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{x}\, \mathrm{sen}\,(\mathrm{sen}\,x)dx =$ $\int_{0}^{1}\mathrm{sen}\,u \cdot du$
$[-\cos{u}]_{0}^{1}= -(\cos{1}-1)= 1 - \cos{1}$
Questão 65- Diana Keli
$\displaystyle\int_{0}^{a}x\sqrt{x^{2}+a^{2}} dx (a>0)$
$\displaystyle\int_{a^{2}}^{2a^{2}}u^{\frac{1}{2}}\left ( \frac{1}{2}du \right )=$
$\displaystyle\int_{a^{2}}^{2a^{2}}\frac{1}{2}\left ( \frac{2}{3}\cdot u^{\frac{3}{2}} \right )=$
$\displaystyle\int_{a^{2}}^{2a^{2}}\frac{1}{3}\cdot u^{\frac{3}{2}}=$
$\displaystyle\frac{1}{3}\left [ (2a^{2})^{\frac{3}{2}}-(a^{2})^{\frac{3}{2}} \right ]=$
$\displaystyle\frac{1}{3}(2\sqrt{2}-1)a^{3}$
Questão 68 - José Hudson
$\int_{0}^{4} \dfrac{x dx}{\sqrt{1+2x}}$
Solução :
$u = 1+ 2x$
$ x = \dfrac{1}{2}(u-1)$
$du= 2x$
$x= 0, u= 1$
$x= 4, u= 9$
$\int_{0}^{4} \dfrac{x \cdot dx}{\sqrt{1+2x}}=$
$\int_{1}^{9}\dfrac{\dfrac{1}{2}(u-1)du}{\sqrt{u}}\dfrac{du}{2}=$
$\dfrac{1}{4} \int_{1}^{9} (u^{\frac{1}{2}}-u^{\frac{-1}{2}})du=$
$\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{2}{3}u^{\dfrac{3}{2}}-2u^{\dfrac{1}{2}}\right]_{1}^{9}=$
$\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{2}{3}\left[u^{\dfrac{3}{2}}-3u^{\dfrac{1}{2}}\right]_{1}^{9}=$
$\dfrac{1}{6}[(27-9)-(1-3)] = \dfrac{20}{6}=\dfrac{10}{3}$
Questão 71 - Guilherme Fernandes
$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{e^{z} + 1}{e^{z} + z}\; dz.$
Solução:
$\displaystyle \left(u = e^{z} + z,\, du = e^{z} + 1\; dz \right)\; \int_{0}^{1} \frac{du}{u} \; = \; \int_{0}^{1} u^{-1} \; = \; [\ln{u}]_{0}^{1} \\ [\ln{(e^{z} + z)}]_{0}^{1} \; = \; \ln{(e^{1} + 1)} - 0 \; = \; \ln{(e + 1)}.$
Questão 73 - Robson Santos
$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+\sqrt{x})^{4}}$
Solução
$u=1+\sqrt{x}$ $x=0$ $x=1$
$du=\frac{1}{2\sqrt{x}dx}$ $u=1$ $u=2$
$2\sqrt{x}du=dx$
$2(u-1)du=dx$
$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+\sqrt{x})^{4}}= \displaystyle \int_{2}^{1} \frac{1}{u^4}\cdot[2(u-1)du]=2$
$\displaystyle \int_{2}^{1} \left ( \frac{1}{u^3}-\frac{1}{u^4} \right )du=2\displaystyle \int_{2}^{1}\left [ -\frac{1}{2u^2} +\frac{1}{3u^2}\right ]= 2\left [ \left ( -\frac{1}{8} +\frac{1}{24}\right )-\left ( -\frac{1}{2}+\frac{1}{3} \right ) \right ]=2\left ( \frac{1}{12} \right )=\frac{1}{6}$
$$\aleph$$
Questão 07 - Robson Santos
$\displaystyle \int x sen(x^2)dx$
Solução:
$u=x^2$
$du=2xdx$
$xdx=\frac{1}{2}$
$\displaystyle \int x sen(x^2)dx= \displaystyle \int sen\cdot\left ( \frac{1}{2}du \right )= -\frac{1}{2}cos \cdot u+C= -\frac{1}{2}(x^2)+C $
Questão 04 - Guilherme Fernandes
$\displaystyle \int \frac{dt}{(1 - 6t)^{4}}\; dt, \; u = 1 - 6t.$
Solução:
$\displaystyle \left(du = -6 \; dt \; \Rightarrow \; dt = - \frac{du}{6} \right) \; \int - \frac{u^{-4}}{6}\, du \; =\; - \frac{1}{6} \int u^{-4}\, du \\ - \dfrac{1}{6}\, \dfrac{u^{-3}}{-3} \; =\; \dfrac{u^{-3}}{18} \; =\; \dfrac{1}{18 \, u^{3}} \; =\; \dfrac{1}{18\,(1 - 6t)^{3}} + c.$
Questão 5 - Jailson Bezerra
$ \int \cos^3 \theta \cdot \sin \theta \cdot d\theta $
$ tome \ u = \cos \theta \ e \ \frac{du}{d\theta} = - \sin \theta, \ logo \ \sin \theta \cdot d\theta = -du $
Solução
$ \int -u^3 \cdot du $
$ \dfrac {-u^4}{4} + c = \dfrac {- \cos^4 \theta}{5} + c $
Questões 7 – 48 Calcule a integral indefinida.
Questão 8- Diana Keli
$\displaystyle\int x^{2}e^{x^{3}}dx$
Solução
$u=x^{3}$
$du=3x^{2}dx$
$x^{2}dx=\frac{1}{3}$
$\displaystyle\int x^{2}e^{x^{3}}dx$
$\displaystyle\int e^{u}\left ( \frac{1}{3}du \right )=$
$\displaystyle\frac{1}{3}e^{u}+C=$
$\displaystyle\frac{1}{3}e^{x^{3}}+C$
Questão 9 - Jailson Bezerra
$ \int (3x-2)^{20} \cdot dx $
$ tome \ u = 3x-2 \ e \ \dfrac {du}{dx}= 3 \ , logo \ dx = 3 \cdot du $
Solução
$ \int 3 \cdot u^{20} \cdot du $
$ \dfrac {3 \cdot u^{21}}{21} + c = \dfrac {u^{21}}{7} + c = \dfrac {(3x - 2)^{21}}{7} + c $
Questão 13 - Jailson Bezerra
$ \int \dfrac {dx}{5 -3x} = \int (5 -3x)^{-1} \cdot dx $
$ tome \ u \ =5 - 3x \ e \ \dfrac {du}{dx}= -3, \ logo \ dx = \dfrac {-du}{3} $
Solução
$ \int \dfrac {-u^{-1} \cdot du}{3} = \dfrac {- \ln u}{3} + c = \dfrac {-\ln {(5 - 3x)}}{3} + c $
Questão 14 - Jailson Bezerra
$ \int u\sqrt{1 - u^2} $
$ tome \ x = 1 - u^2 e \ \dfrac {dx}{du} = -2u, \ logo \ u \cdot du = \dfrac {- dx}{2} $
Soçução
$ \int \dfrac {-1}{2} \cdot \sqrt {x} \cdot dx = \dfrac {-1}{2} \cdot \dfrac {x^{3/2}}{\dfrac{3}{2}} + c = \dfrac {-1}{3} \cdot x^{3/2} + c = \dfrac {-1}{3} \cdot \sqrt{(1- u^2)^3} + c $
Questão 17 - Antônio Wagner
$\displaystyle\int\frac{e^{u}}{(1-e^{u})^{2}}du$
Solução
$x=1-e^{u}$
$dx=-e^{u}du$
$e^{u}du = -dx$
$\displaystyle\int\frac{1}{x^{2}}(-dx) = - \int x^{-2}dx = -(-x^{-1})+C=\frac{1}{x}+C=\frac{1}{1-e^{u}}+C $
Questão 18 - Antônio Wagner
$\displaystyle\int\frac{sen\sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx$
Solução
$u=\sqrt{x}$
$du=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx$
$2du=\frac{1}{\sqrt{x}}$
$\int sen u (2du)= -2 cos u + C = -2 cos \sqrt{x} + C$
Questão21- Marden Torres
$\displaystyle\int\frac{(ln x)^{2}}{x}dx$
Solução
Seja $u = ln x$. Então $du = \frac{dx}{x}$
Assim
$\displaystyle\int\frac{(ln x)^{2}}{x}dx=$$\int u^{2} du = \frac{1}{3}u^{3} + C = \frac{1}{3}(ln x)^{3} + C$
Questão23- Robson Santos
$\displaystyle \int sex^2\theta\cdot tg^3\theta\cdot d\theta $
Solução:
$u=tg\theta $
$du=sec^2\theta \cdot d\theta $
$\displaystyle \int sex^2\theta\cdot tg^3\theta\cdot d\theta =\displaystyle \int u^3\cdot du =\frac{1}{4}\cdot u^4+C=\frac{1}{4}tg^4\theta +C$
Questão24- Robson Santos
$\displaystyle \int \sqrt{x}\cdot sen(1+x^{\frac{3}{2}})dx$
Solução:
$u=1+x^{\frac{3}{2}}$
$du=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}dx$
$\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}du$
$\displaystyle \int \sqrt{x}\cdot sen(1+x^{\frac{3}{2}})dx =\displaystyle \int sen u\left ( \frac{2}{3}du \right )= \frac{2}{3}\cdot (-cos \cdot u)+C=-\frac{2}{3}cos(1+x^{\frac{3}{2}})+C$
Questão 26 - Guilherme Fernandes
$\displaystyle \int \frac{dx}{ax + b}\; (a \ne 0).$
Solução:
$\displaystyle \left(u = ax + b,\, du = a\; dx \; \Rightarrow \; dx = \frac{du}{a} \right)\; \int \frac{\tfrac{1}{u}}{a} \; = \; \frac{1}{a}\, \int \frac{1}{u}\; du \\ \dfrac{1}{a}\, \ln{u} + c \; = \; \dfrac{1}{a}\, \ln{(ax + b)} + c.$
Questão 27 - José Hudson
$\int (x^{2}+ 1)(x^{3}+3x)^{4}dx$
Solução :
$u= x^{3}+3x$
$du= 3x^{2}\cdot dx = \dfrac{1}{3}\cdot du= x^{2}\cdot dx$
$\int u^{4}\left(\dfrac{1}{3}du\right)$
$\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{5} u^{5}+C = \dfrac{1}{15}(x^{3}+3x)^{5}+C$
Questão32- Marden Torres
$\displaystyle\int\frac{ \mbox{sen}(ln\, x)}{x}dx$
Solução
Seja u = ln x. Então $du = (1 / x) dx$,
assim
$\displaystyle\int\frac{ \mbox{sen}(ln\, x)}{x}dx = $$\int \mbox{sen}\,{u}\, du = - cos\, u + C = - cos(ln\, x) + C$
Questão 33 - Antônio Wagner
$\displaystyle\int\frac{cos x}{sen^{2}x}dx$
Solução
$u=sen x$
$du=cos x dx$
$\displaystyle\int\frac{1}{u^{2}}du = \int u^{-2}du=\frac{u^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{u}+C = -\frac{1}{sen x}+C$
Questão34- Marden Torres
$\displaystyle\int\frac{cos(\pi/x)}{x^{2}}dx$
Solução
Deixe $u =\frac{\pi}{x}$ Então $du = - \frac{\pi}{x^{2}}dx$ e $\frac{1}{x^{2}}dx = -\frac{1}{\pi}du$
Assim
$\displaystyle\int\frac{cos(\pi/x)}{x^{2}}dx = $$\displaystyle\int cos\,u\Big(-\frac{1}{\pi}du\Big)=$$\displaystyle-\frac{1}{\pi}sen\,u + C = -\frac{1}{\pi}sen\frac{\pi}{x} + C$
Questão 36- Diana Keli
$\displaystyle\int \frac{2^{t}}{2^{t}+3}dt$
Solução
$u=2^{t}+3$
$du=2^{t}ln2 dt$
$2^{t}dt=\frac{1}{ln2}du$
$\displaystyle\int \frac{2^{t}}{2^{t}+3}dt$
$\displaystyle\int \frac{1}{u}\left ( \frac{1}{ln2}du \right )=$
$\displaystyle\frac{1}{ln2}ln\left | u \right |+C=$
$\displaystyle\frac{1}{ln2}ln(2^{t}+3)+C$
Questão 37 - Guilherme Fernandes
$\displaystyle \int \mbox{senh}^{2}\,{x}\, \cosh{x}\; dx.$
Solução:
$\displaystyle \left(u = \cosh{x},\, du = \mbox{senh}\,{x}\; dx \right) \int \mbox{senh}\,{x} \, u \,{x}\; dx\; = \; \mbox{senh}\,{x}\, \int u\; du \\ \mbox{senh}\,{x} \, \dfrac{u^{2}}{2} + c \; = \; \mbox{senh}\,{x} \, \dfrac{\mbox{senh}^{2}\,{x^{2}}}{2} + c \; = \; \dfrac{\mbox{senh}^{3}\,{x^{3}}}{2} + c.$
Questão 39- Diana Keli
$\displaystyle\int \frac{\sin 2x}{1+\cos^{2}x}dx$
Solução
$u=\cos x$
$du=-\sin x\cdot dx$
$\displaystyle\int \frac{\sin 2x}{1+\cos^{2}x}dx=$
$\displaystyle2\int \frac{\sin x \cos x}{1+\cos^{2}x}dx=$
$\displaystyle-2\int \frac{u\cdot du}{1+u^{2}}=$
$\displaystyle-2\cdot \frac{1}{2}ln(1+u^{2})+C=$
$\displaystyle-ln(1+u^{2})+C=$
$\displaystyle-ln(1+\cos^{2}x)+C$
Questão 44- José Hudson
$\int \dfrac{x}{1+x^{4}}dx$
Solução :
$u= x^{2}$
$\dfrac{1}{3}du=x \cdot dx$
$\int \dfrac{\dfrac{1}{2}du}{1 + u^{2}} = \dfrac{1}{2}tan^{-1}u+C = \dfrac{1}{2}tan^{-1}x^{2}+C$
Questão 45- Robson Santos
$\displaystyle \int \frac{1+x}{1+x^2}dx$
Solução
$u=1+x^2$
$du=2x dx$
$\displaystyle \int \frac{1+x}{1+x^2}dx= \displaystyle \int \frac{1}{1+x^2}dx+\displaystyle \int \frac{x}{1+x^2}dx=tg^{-1}x+\displaystyle \int \frac{\frac{1}{2}du}{u}=tg^{-1}x+\frac{1}{2}ln \mid u\mid +C =tg^{-1}x+\frac{1}{2}ln\mid 1+x^2 \mid +C=tg^{-1}x+\frac{1}{2}ln(1+x^2)+C$
$Quando1+x^2>0$
Questão 48 - Antônio Wagner
$\displaystyle\int x^{3}\sqrt{x^{2}+1} dx$
Solução
$u=\sqrt{x^{2}+1}$
$u^{2}=x^{2}+1 -> 2u du = 2x dx -> u du = x dx$
$\int x^{2}\sqrt{x^{2}+1}x dx = \int (u^{2}-1)u \cdot u du =\int(u^{4}-u^{2})du$
$\int\frac{1}{5}u^{5}-\frac{1}{3}u^{3}+C=\frac{1}{5}(x^{2}+1)^{5/2}-\frac{1}{3}(x^{2}+1)^{3/2}+C$
49–52 Calcule a integral indefinida.
Questão 50 - Guilherme Fernandes
$\displaystyle \int \mbox{tg}^{2}\,{\theta}\, \sec^{2}{\theta}\; d\theta.$
Solução:
$\displaystyle \left(u = \mbox{tg}\,{\theta},\, du = \sec^{2}{\theta}\; d\theta \right)\; \int u^{2}\; du \\ \dfrac{u^{3}}{3} + c \; = \; \dfrac{\mbox{tg}^{3}\,{\theta}}{3} + c.$
Questão 52- Diana Keli
$\displaystyle\int \sin x \cdot \cos^{4} x\cdot dx $
Solução
$u=\cos x$
$du=-\sin x\cdot dx$
$\displaystyle\int \sin x \cdot \cos^{4} x\cdot dx =$
$\displaystyle\int u^{4}(-du)=$
$\displaystyle-\frac{1}{5}u^{5}+C=$
$\displaystyle-\frac{1}{5}\cos^{5}x+C$
Questões 53 – 73 Avalie a integral definida.
Questão 57 - Antônio Wagner
$\displaystyle\int_{0}^{\pi} sec^{2}(t/4) dt$
Solução
$u=t/4, então du = \frac{1}{4} dt$
$Quando t=0, u=0 e quando t=\pi, u=\pi/4$
$\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}sec^{2}u(4du)=\int{0}^{\pi/4}4tgu = 4\left(tg\frac{\pi}{4}-tg0\right) = 4(1-0) = 4$
Questão 59 - José Hudson
$\int_{1}^{2} \dfrac{e^{\dfrac{1}{x}}}{x^{2}}dx$
Solução :
$u= \dfrac{1}{x}$
$du = \dfrac{-1}{x^{2}}$
$x= 1, u = 1$
$ x = 2, u= \dfrac{1}{2}$
$\int_{1}^{2} \dfrac{e^{\dfrac{1}{x}}}{x^{2}}dx$
$\int_{1}^{\frac{1}{2}} e^{u}(-du) = - [e^{u}]_{1}^{\frac{1}{2}}$
$-(e^{\dfrac{1}{2}-e})= e - \sqrt{e}$
Questão 62 - José Hudson
$\int_{1}^{\frac{\pi}{2}} \cos{x} \mathrm{sen}\,(\mathrm{sen}\,x)dx$
Solução :
$u= \mathrm{sen}\,x$
$du = \cos{x}\cdot dx$
$x = 0, u= 0$
$ x= \frac{\pi}{2}, u =1$
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{x}\, \mathrm{sen}\,(\mathrm{sen}\,x)dx =$ $\int_{0}^{1}\mathrm{sen}\,u \cdot du$
$[-\cos{u}]_{0}^{1}= -(\cos{1}-1)= 1 - \cos{1}$
Questão 65- Diana Keli
$\displaystyle\int_{0}^{a}x\sqrt{x^{2}+a^{2}} dx (a>0)$
Solução
$u=x^{2}+a^{2}$ $x=0$ $x=a$
$du=2xdx$ $u=a^{2}$ $u=2a^{2}$
$xdx=\frac{1}{2}du$
$\displaystyle\int_{0}^{a}x\sqrt{x^{2}+a^{2}} dx =$$u=x^{2}+a^{2}$ $x=0$ $x=a$
$du=2xdx$ $u=a^{2}$ $u=2a^{2}$
$xdx=\frac{1}{2}du$
$\displaystyle\int_{a^{2}}^{2a^{2}}u^{\frac{1}{2}}\left ( \frac{1}{2}du \right )=$
$\displaystyle\int_{a^{2}}^{2a^{2}}\frac{1}{2}\left ( \frac{2}{3}\cdot u^{\frac{3}{2}} \right )=$
$\displaystyle\int_{a^{2}}^{2a^{2}}\frac{1}{3}\cdot u^{\frac{3}{2}}=$
$\displaystyle\frac{1}{3}\left [ (2a^{2})^{\frac{3}{2}}-(a^{2})^{\frac{3}{2}} \right ]=$
$\displaystyle\frac{1}{3}(2\sqrt{2}-1)a^{3}$
Questão 68 - José Hudson
$\int_{0}^{4} \dfrac{x dx}{\sqrt{1+2x}}$
Solução :
$u = 1+ 2x$
$ x = \dfrac{1}{2}(u-1)$
$du= 2x$
$x= 0, u= 1$
$x= 4, u= 9$
$\int_{0}^{4} \dfrac{x \cdot dx}{\sqrt{1+2x}}=$
$\int_{1}^{9}\dfrac{\dfrac{1}{2}(u-1)du}{\sqrt{u}}\dfrac{du}{2}=$
$\dfrac{1}{4} \int_{1}^{9} (u^{\frac{1}{2}}-u^{\frac{-1}{2}})du=$
$\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{2}{3}u^{\dfrac{3}{2}}-2u^{\dfrac{1}{2}}\right]_{1}^{9}=$
$\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{2}{3}\left[u^{\dfrac{3}{2}}-3u^{\dfrac{1}{2}}\right]_{1}^{9}=$
$\dfrac{1}{6}[(27-9)-(1-3)] = \dfrac{20}{6}=\dfrac{10}{3}$
Questão 71 - Guilherme Fernandes
$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{e^{z} + 1}{e^{z} + z}\; dz.$
Solução:
$\displaystyle \left(u = e^{z} + z,\, du = e^{z} + 1\; dz \right)\; \int_{0}^{1} \frac{du}{u} \; = \; \int_{0}^{1} u^{-1} \; = \; [\ln{u}]_{0}^{1} \\ [\ln{(e^{z} + z)}]_{0}^{1} \; = \; \ln{(e^{1} + 1)} - 0 \; = \; \ln{(e + 1)}.$
Questão 73 - Robson Santos
$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+\sqrt{x})^{4}}$
Solução
$u=1+\sqrt{x}$ $x=0$ $x=1$
$du=\frac{1}{2\sqrt{x}dx}$ $u=1$ $u=2$
$2\sqrt{x}du=dx$
$2(u-1)du=dx$
$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+\sqrt{x})^{4}}= \displaystyle \int_{2}^{1} \frac{1}{u^4}\cdot[2(u-1)du]=2$
$\displaystyle \int_{2}^{1} \left ( \frac{1}{u^3}-\frac{1}{u^4} \right )du=2\displaystyle \int_{2}^{1}\left [ -\frac{1}{2u^2} +\frac{1}{3u^2}\right ]= 2\left [ \left ( -\frac{1}{8} +\frac{1}{24}\right )-\left ( -\frac{1}{2}+\frac{1}{3} \right ) \right ]=2\left ( \frac{1}{12} \right )=\frac{1}{6}$
$$\aleph$$
testando;
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