$\int$ Capítulo 6 - Seção 6.3 - Volumes por Cascas Cilíndricas (389)

Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo y.
 

 Questão 6 - Marden Torres

$y = 4x - x^{2}, y = x$

Solução:

$\displaystyle V = \int_{0}^{3}2\pi x[(4x - x^{2}) - x] dx$

$= 2\pi \displaystyle\int_{0}^{3} (- x^{3} + 3x^{3})dx$

$= 2\pi\big[ - \frac{1}{4}x^{4} + x^{3}\big]_{0}^{3}$

$= 2\pi(-\frac{81}{4} + 27) = 2\pi(\frac{27}{4}) = \frac{27}{2}\pi$











Questão 9 - José Hudson da Silva

Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x.

$$xy = 1, x = 0, y = 0, y = 3$$  

Solução : 

$xy = 1, x = 0, y = 0, y = 3$

$xy = 1 ; x = \dfrac{1}{y}$

$\displaystyle V = 2\pi \int_{1}^{3} y \left(\dfrac{1}{x} \right )dy$

$\displaystyle = 2\pi \int_{1}^{3} dy = 2\pi[y]_{1}^{3}$

$\displaystyle =2\pi(3-1) = 4\pi$


Questão 14 - Diana Keli
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x.

$x+y=3,x=4-(y-1)^{2}$

Solução:

$\displaystyle V = \int_{0}^{3}2\pi y[4-(y-1)^{2}-(3-y)]dy$

$\displaystyle =2\pi \int_{0}^{3}y-(y^{2}+3y)dy$

$\displaystyle =2\pi \int_{0}^{3}(-y^{3}+3y^{2})dy=2\pi\left [ -\frac{1}{4}y^{4}+y^{3} \right ]_{0}^{3}$

$\displaystyle =2\pi \left ( -\frac{81}{4}+27 \right )=2\pi \left ( \frac{27}{4} \right )=\frac{27}{2}\pi$

15 – 20 Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.

Questão 15 - Jailson Bezerra
$y = x^4; \ y = 0;  \ x = 1; \ em \ torno \ de \ x = 2$

Solução:

$\displaystyle V = \int_{0}^{1}2\pi (2 - x)(x^4) dx$

$\displaystyle = 2 \pi \int_{0}^{1} (2x^4 - x^5) dx$

$\displaystyle = 2 \pi \left [ \frac{2x^5}{5} - \frac {x^6}{6} \right ]_{0}^{1}$

$\displaystyle =2\pi \left ( -\frac{2}{5}- \frac {1}{6}  \right ) = \pi \left ( \frac{12 - 5}{15} \right )=\frac{7}{15}\pi$